高三数学第一轮复习：导数与积分（理）人教实验A版知识精讲.doc

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高三数学第一轮复习：导数与积分（理）人教实验A版

【本讲教育信息】
一.教学内容：
导数与积分

二.重点、难点：
1.导数公式：

2.运算公式

3.切线，过P（）为切点的的切线，
4.单调区间
不等式，解为的增区间，解为的减区间。
5.极值
（1）时，，时，
∴为极大值
（2）时，时，
∴为的极小值。

【典型例题】
[例1]求下列函数的导数。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）。
分析：直接应用导数公式和导数的运算法则
解析：（1）

（2）当时，；
当时，，
∴
（3）

（4）

（5）

（6）

[例2]如果函数的图象在处的切线过点（0，）并且与圆C：相离，则点（）与圆C的位置关系。
解：∴切
过（0，）∴
∴
与圆相离，
∴∴
∴点（）在圆内
[例3]函数在上可导，且，则时有（）
A.
B.
C.
D.
解：令
∴
∴∴
∴任取
∴
即故选C

[例4]分别为定义在R上的奇函数、偶函数。
时，，则不等式的解为。
解：令∴

∴
奇，偶奇函数∵
∴
∴解为
[例5]已知函数在处取得极值2。
（1）求的解析式；
（2）满足什么条件时，区间（）为函数增区间；
（3）若P（）为图象上任一点，与切于点P求的倾斜角的正切值的取值范围。
解：
∴
∴
列表∴（－1，1）↑（1，+∞）↓

令

∴

[例6]
（1）在x=1，x=3处取得极值，求；
（2）在，且，求证：
（3）在（2）的条件下，比较与大小关系。
解：（1）

∴
（2）

∴
（3）

*
∵∴
∴*式∴
[例7]已知抛物线和。如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
（1）取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（2）若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。
分析：分别利用曲线方程求切线的方程再比较，从而求得满足条件；对于（2）两条公切线段互相平分，也就是两公切线段的中点坐标相同。
解析：（1）函数的导数，曲线在点的切线方程是

即①
函数的导数
曲线在点的切线方程是

即②
如果直线是过P和Q的公切线，则①式和②式都是的方程
所以
消去得方程
若判别式，即时解得，此时点P与Q重合
即当时，和有且仅有一条公切线
由①得公切线方程为
（2）由（1）可知，当时和有两条公切线
设一条公切线上切点为，其中P在上，Q在上，则有

线段PQ的中点为
同理，另一条公切线段的中点也是
所以公切线段PQ和互相平分

[例8]已知抛物线过点，且在点处与直线相切，求的值。
解析：∵
∴
∵抛物线在点处与直线相切
∴，且
即
又抛物线过点（1，1）∴（3）

将（1）（2）（3）联立解得

[例9]设函数的图象与轴的交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为，若函数在处取得极值为0，试确定函数的解析式。
解析：∵的图象与y轴交点为P
∴点P的坐标为
∵曲线在P点处的切线方程为，故P点坐标适合此方程，将代入后得
又切线的斜率为
而，
∴
又函数在处取得极值0
∴且
即
由（1）（2）解得
∴

[例10]已知曲线。
（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；
（2）求曲线过点Q（1，0）的切线方程；
（3）求满足斜率为的曲线的切线方程。
解析：（1）∵，又P（1，1）是曲线上的点
∴P为切点，所求切线的斜率为
∴曲线在P点处的切线方程为，即
（2）显然Q（1，0）不在曲线上，则可设过该点的切线的切点为，则该切线斜率为
则切线方程为（*）
将Q（1，0）代入方程（*）得得。故所求切线方程为
（3）设切点坐标为，则切线的斜率为
解得
∴或，代入点斜式方程得或
即切线方程为或

[例11]已知，函数，设，记曲线在点处的切线为。
（1）求的方程；
（2）设与x轴交点为，证明：
①；②若，则。
解析：（1）求的导数：，由此得切线的方程：

（2）依题意，切线方程中令

①

∴当且仅当时等号成立
②若，则，，且由①，所以
[例12]设函数，其中，求的单调区间。
解析：由已知得函数的定义域为，且
（1）当时，由知，函数在上单调递减
（2）当时，由，解得
随x的变化情况如下表：
x－0+↓极小值↑从上表可知
当时，0，函数在上单调递减
当时，，函数在上单调递增
综上所述：
当时，函数在上单调递减
当时，函数在上单调递减，在上单调递增

[例13]已知函数在R上是减函数，求的取值范围。
分析：因为在R上为减函数，即在R上恒成立，再解不等式即可得解。
解析：求函数的导数：
（1）当时，是减函数
，且
所以，当时，由知是减函数；
（2）当时，
由函数在R上的单调性，可知
当时，是减函数；
（3）当时，在R上存在一个区间，其上有