高三数学导数与积分（二）（理）人教实验版（A）知识精讲.doc

高三数学导数与积分（二）（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：导数与积分（二）二.重点、难点1.导数应用题2.函数（）定义域且奇偶性奇函数值域R单调区间（－∞，0）（0，+∞）↑图象3.（）定义域R，值域为R，有两根（－∞，）↑（）↓（，+∞）↑（－∞，）↓（）↑（，+∞）↓R上↑无极值R上↓无极值【典型例题】[例1]研究函数的性质。解：∴（－∞，－1）↓（－1，1）↑（1，+∞）↑定义域R，值域奇函数[例2]已知函数在x=0处取得极值，曲线过原点和点P（－1，2），若曲线在点P处的切线与直线的夹角为45°，且该切线的倾斜角为钝角。（1）求的表达式；（2）求的单调区间。解：（1）∵曲线过原点∴∴，又是的极值点∴∴（2分）又∵过点P（－1，2）的切线斜率为，又由题意解得：（不合题意，舍去）由即解得∴（2），令得或所以在区间（－∞，－2）和（0，+∞）在内为增函数令得，所以在区间（－2，0）内为减函数综上知的单调区间为（－∞，－2），（0，+∞），（－2，0）[例3]已知函数，当时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值。（1）求的值及函数的极小值；（2）若对任意，不等式恒成立，试确定实数的最小值。（1）解：，∵及x=3时取得极值∴－1，3是方程的根，即为的两根由一元二次方程根与系数的关系，有∴∴∵时极大值是7，∴，极小值∴极小值为－25（2）解：由（1）知在（－1，0）上是减函数且在[－1，0]上最大值，在[－1，0]上最小值对任意（－1，0）恒有成立∴，即的最小值为5[例4]已知，且（1）设，求的解析式；（2）设，试问：是否存在实数，使在（－∞，－1）内为减函数，且在（－1，0）内是增函数。解：（1）由题意得∵∴，∴，∴（2）若满足条件的存在，则∵函数在（－∞，－1）上是减函数，∴当时，即对于（－∞，－1）恒成立∴∵，∴，∴，解得又函数在（－1，0）上是增函数，∴当－1<x<0时，即对于（－1，0）恒成立，∴∵，∴∴，解得故当时，在（－∞，－1）上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在。[例5]某隧道长a米，最高限速为米/秒。一匀速行进的车队有10辆车，每车长米，相邻两车之间的距离m米与车速v的平方成正比，比例系数为k，从第一辆车车头进隧道至10辆车车尾离开隧道所用的时间是t秒。（1）求出的解析式并求出定义域；（2）求出的最小值，并求出取最小值时的的值。分析：本例不是很难，关键是明确车队所走的总路程应是隧道长加上10个车身和9个间距。解析：（1）∵相邻两车之间的距离m米与车速v的平方成正比，比例系数为k，∴整个车队走完隧道的总路程为：，∴所用的时间为：故的解析式为，其定义域为（2）解法一：∵（当且仅当，即时取等号），∴当时，当时，∵，∴∴，∴当时，解法二：∵，∴令，∵，∴（1）当时，可列下表：－0+t↓极小值↑∴当时，（2）当时，函数在上为减函数，即当[例6]设（1）求函数的单调递增、递减区间；（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围。解析：（1）令得或，则的解为∴函数的单调增区间为，，单调减区间为（2）原命题等价于在上的最大值小于m，由得或1又，，∴[例7]设和分别是函数的极小值点和极大值点，已知，求的值及函数的极值。解析：令，解得或当，即时在1两侧左负、右正，在两侧左正、右负，所以是极小值点，是极大值点由题意得，无解当，即时，故可知不合题意当，即时在两侧左正、右负，而在两侧左负、右正∴，由，解得或（舍去）综上可知，此时；[例8]已知为实数（1）求导数；（2）若，求在上的最大值和最小值；（3）若在和上都是递增的，求的取值范围。解析：（1）由原式得∴（2）由得此时有，由得或又，，，所以在上的最大值为，最小值为（3）解法一：的图象为开口向上且过点的抛物线，由条件得，即∴所以的取值范围为解法二：令，即由求根公式得所以在和上非负由题意可知：当或时，从而，即，解不等式组得∴的取值范围是[例9]设函数。若对所有的，都有成立，求实数的取值范围。解析：解法一：令对函数求导数：令，解得（1）当，对所有，则，所以在上是增函数，又，所以对，有，即当时，对于所有，都有（2）当时，对于，，所以在上是减函数，又，所以对有，即所以，当时，不是对所有的都有成立综上，的取值范围是解法二：令于是不等式成立，即为成立对求导数得令，解得当时，，为增函数；当时，，为减函数要对所有都有成立的充要条件为由此得，即的取值范围是[例10]已知函数（1）若函数在区间上递增，在区间上递减，求的值；（2）当时，设函数图象上任意一点处的切线的倾斜角为，若给定常数，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数的图象与函数的图象恰有三个交点，若存在，请求出实数的值；若不存在，试说明理由。解析：（1）依题意由，得，即（2）当时，由，