高三数学直线方程与直线的位置关系苏教版知识精讲.doc

高三数学直线方程与直线的位置关系苏教版

【本讲教育信息】
一.教学内容：
直线方程与直线的位置关系

二.本周教学目标：
1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
2、掌握两条直线相交、平行、垂直、重合等位置关系的判别方法，点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式．

［教学过程］
一、直线方程
1.数轴上两点间距离公式：．
2.直角坐标平面内的两点间距离公式：
3.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°
可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．
4.直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k＝tanα（α≠90°）．
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，＋∞）．
5.直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量＝（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量．
向量＝（1，）＝（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率．特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为＝（0，1）．
6.求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tanα．
②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k＝．
③方向向量法：若＝（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k＝．
平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率．
对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1＝x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α＝90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数．
7.直线方程的五种形式
点斜式：，斜截式：
两点式：，截距式：
一般式：

二、两条直线的位置关系
1.特殊情况下的两直线的平行与垂直．
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；
（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
2.斜率存在时两直线的平行与垂直：
（1）两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即＝且．
已知直线、的方程为：，
：
∥的充要条件是．
⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是．
已知直线和的一般式方程为：，
：，则
3.两条直线是否相交的判断
两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：
是否有惟一解．
4.点到直线距离公式：
点到直线的距离为：

5.两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为．
6.直线系方程：若两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为＋或＋（λ为常数）．

【典型例题】
例1.已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程
分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答．
解：∵P（2，3）在已知直线上，
∴2a1＋3b1＋1＝0，2a2＋3b2＋1＝0．
∴2（a1－a2）＋3（b1－b2）＝0，即＝－．
∴所求直线方程为y－b1＝－（x－a1）．
∴2x＋3y－（2a1＋3b1）＝0，即2x＋3y＋1＝0．
点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙．

例2.一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y＋3＝0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）．
分析：（2）将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可．
解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，
从而方程为8x－15y＋6＝0．
（2）设直线方程为＋＝1，（a＞0，b＞0），
代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，
此时＝，∴k＝－＝－．
∴方程为2x＋3y－12＝0．
点评：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值．

例3.过点（2，1）作直线分别交x，y轴正半轴于A，B两点．
（1）当ΔAOB面积最小时，求直线的方程；
（2）当|PA||PB