高三数学直线（文）人教实验版（A）知识精讲.doc

高三数学直线（文）人教实验版（A）

【本讲教育信息】
一.教学内容：
直线

二.重点、难点
1.直线方程：
点斜式：
斜截式：
两点式：
截距式：
一般式：
参数式：t为参数
2.

夹角为

【典型例题】
[例1]直线不过第二象限，求的取值范围。
解：（1）

（2）成立
（3）不成立
∴

[例2]已知直线在x轴的截距比在y轴上的截距大1，且过定点，求的方程。
解：设

∴

[例3]直线倾斜角的正弦值为，若它与两坐标轴围成三角形的面积为6，求的方程。
解：
∴

∴

[例4]，A（0，1），B（2，0），C（4，1）
（1）在上求一点P，使|PB|+|PC|最小；
（2）在上求一点Q，使||PA|－|PB||最大。
解：（1）B关于的对称

（2）

[例5]B（0，6），C（0，2），A在x轴负半轴上，问A在何处∠CAB有最大值？
解：设∴

时，∠CAB最大

[例6]已知△ABC，A（1，1），B（－2，3），C（－1，－4），求∠A。
解：

[例7]正△ABC中，A（1，1），中心M（5，3），求三边所在直线。
解：设AM交BC于D，M分比
∴D（7，4）∴
∴
与AD夹角为30°

∴

[例8]如图所示，过点M（0，1）作直线，使其夹在直线，之间的线段被M平分，求直线的方程。

解析：解法一：过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为，与已知两直线分别交于A，B两点，联立方程组：
（1）
（2）
由（1）解得，由（2）解得
∵点M平分线段AB
∴，即
解得，故所求直线的方程为
解法二：设所求直线与分别交于A，B两点
因为点B在直线上，故可设，M（0，1）是AB的中点，由中点坐标公式得
∵A点在直线上
∴，解得
∴B（4，0）
故所求直线的方程为
解法三：设直线与的交点分别为A，B
并设向量，
而，则

∵
∴
解得∴B（4，0）
故所求直线的方程为

[例9]已知△ABC在第一象限，A（1，1），B（5，1），，，求：
（1）AB所在直线的方程；
（2）AC和BC所在直线的方程；
（3）AC，BC所在直线与y轴的交点间的距离。
解析：（1）∵
∴AB所在直线方程为
（2）
∴AC所在直线方程为
即
又
∴BC所在直线方程为
即
（3）由直线AC的方程
令，则
由直线BC的方程
令，则
∴两交点间的距离为

[例10]等腰三角形两腰所在直线方程分别是和。它的底边所在直线通过点，求底边所在的直线方程。
解析：设△ABC为等腰三角形，AB，AC为两腰，BC为底边，斜率分别为。
∵∠ABC=∠ACB=
∴
∵∴
解得或
∴所求直线方程为或
即或

[例11]分别过A（6，2），B（－3，－1）两点的两条直线相平行，并且各自绕着A，B旋转，如果两平行线间距离为d。求：
（1）距离d的取值范围；
（2）当d取最大值时两条直线的方程。
解析：解法一：（1）设两直线方程分别为和，则
即①
而
∴
即②
由于
∴
整理得
∴
（2）因为时，
故两直线方程分别为和
解法二：（1）由题意可知，当两平行线均与线段AB垂直时距离最大，当两平行线重合，即都过A，B点时距离d=0最小，但平行线不能重合。
∴
（2）两直线方程分别是和

[例12]光线从A（－3，4）点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（－1，6），求BC所在直线的方程。
解析：解法一：如图所示，依题意，B点在原点O左侧，设坐标为，由入射角等于反射角，得∠1=∠2，∠3=∠4

∴
又
∴∴BC的方程为
即
令，解得C点坐标为
则
∵∠3=∠4∴
∴解得
代入BC方程得
解法二：A关于x轴的对称点，D关于y轴的对称点
由光学知识知：四点共线
则BC所在直线的方程为

[例13]已知点P到两个定点M（－1，0），N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。
解析：解法一：设点P的坐标为
由题设有
即
整理得①
因为点N到PM的距离为1，
所以∠PMN=30°
直线PM的斜率为
直线PM的方程为②
将②式代入①式整理得
解得或
代入②式得点P的坐标为或；或
直线PN的方程为或
解法二：设M，N两点到PN，PM的距离分别为，则

∵
∴
设PN的方程为
∴
∴所求直线方程为或

[例14]设有三条直线，，。M为何值时以这三条直线不能构成三角形。
解析：（1）当三条直线交于一点时，
由得：
与的交点，要使A在上，则。
解之得或
故或时，三条直线交于一点。
（2）无任何两条直线对应系数成比例，所以三条直线中任两条都不重合。
（3）有两条平行时，
当时，m=4；
当时，
综上，当，，4时，三条直线不能组成三角形。

【模拟试题】
1.点（3，9）关于直线对