高三数学直线与圆锥曲线（理）人教实验版（A）知识精讲.doc

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高三数学直线与圆锥曲线（理）人教实验版（A）

【本讲教育信息】
一.教学内容：
直线与圆锥曲线

二.重点、难点：
1.曲线：
2.直线：

（1）无交点
（2）一个交点，相切
（3）两个交点P、Q

【典型例题】
[例1]A（4，1）过A作交曲线M于P、Q，A恰为PQ中点，求。
（1）
（2）
（3）
解：（1）设，
∴

∴
∴A为PQ中点∴，
∴
∴
（2）同理：
（3）同理：

[例2]过曲线M的焦点F，作直线交曲线M于A、B，求的最小值。
（1）
（2）
（3）
解：（1）①设

<1>交于两支

∴时，
<2>
交于右支

∴
②
综上所述，
（2）同理：
（3）同理：

[例3]（1）椭圆，直线，若M上存在两个不同的点，关于对称，求m的取值范围。
（2）双曲线，直线，若M上存在两个不同的点关于对称，求k的取值范围。
解：（1）设对称点A，B∴

∴
∴
∴
（2）设对称点A、B∴

∴
∴

[例4]椭圆M，中心在原点，焦点在x轴，直线交椭圆于P、Q，且OP⊥OQ，，求椭圆方程。
解：设椭圆
∴
设

∴
∴

令∴∴
∴

[例5]曲线P在M上，A（1，2），B（3，8），求最小值。
与AB平行的曲线的切线：

依图
∴

[例6]已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（，0），右顶点为D（2，0），设点A。

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值。
解析：（1）由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴
又∵椭圆的焦点在x轴上∴椭圆的标准方程为
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（）
由，得
由点P在椭圆上，得
∴线段PA中点M的轨迹方程是
（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，因此△ABC的面积S△ABC=1
当直线BC不垂直于x轴时，该直线方程为，代入
解得，
则，又因为点A到直线BC的距离
∴△ABC的面积，
于是
由，得，其中，当时，等号成立
∴的最大值是

[例7]如图，双曲线的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且。

（1）求双曲线的方程；
（2）设A（m，0）和是x轴上的两点。过点A作斜率不为0的直线，使得交双曲线于C，D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。证明直线DE垂直于x轴。
解析：（1）根据题设条件，，设点M（x，y），则x，y满足
因，解得，
故

利用，得，于是
因此，所求双曲线方程为
（2）证明：设点C（），D（），E（），则直线的方程为
于是两点坐标满足
将<1>代入<2>得

由（点C在双曲线上），上面方程可化简为

由已知，显然
于是，因为，得
同理，两点坐标满足
可解得
所以，故直线DE垂直于x轴。

[例8]已知点M（－2，0），N（2，0），动点P满足条件，记动点P的轨迹为W。
（1）求W的方程；
（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值。
解析：解法一：（1）由知，动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长。
又半焦距，故虚半轴长
∴W的方程为
（2）设A，B的坐标分别为
当AB⊥x轴时，，从而
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，与W的方法联立，消去y得，故
∴

又∵，∴，从而
综上，当AB⊥x轴时，取得最小值2
解法二：（1）同解法一
（2）设A，B的坐标分别为，
则
令，则，且
∴

当且仅当，即时“=”成立
∴的最小值是2

[例9]无论m为何值，直线：与双曲线C：恒有公共点。
（1）求C的离心率的取值范围；
（2）若直线过C的右焦点F与双曲线交于P、Q，并且满足，求C的方程。
解：（1）
∴
①时，m=0方程组无解，不合题意
②，恒成立，即恒成立
∴∴
（2）设：，∴
∴
∵
∴
又∵∴∴

[例10]如图F（1，0），点M在x轴上，若且向量与的交点在y轴上。
（1）求N的轨迹；
（2）是否存在过点（－1，0）的直线交轨迹于A、B且，并说明理由。

解：（1）设N（x，y），M（a，0）
与的交点为P，
∴P为中点，且∴
∴，∴∴
（2）设存在直线满足条件
令

∴∴

定值
∴不存在使=4

[例11]如图，已知椭圆，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设
（1）求的解析式；（2）求的最值。

考查方向：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合。
知识背景：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值。
易错分析：在第（1）问中，要注意验证当时，直线与椭圆恒有交点。
技巧方