高三数学轨迹，圆锥曲线综合（理）人教实验版（A）知识精讲.doc

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高三数学轨迹，圆锥曲线综合（理）人教实验版（A）

【本讲教育信息】
一.教学内容：
轨迹，圆锥曲线综合

二.重点、难点：
轨迹的求法
1.直接法
2.几何法
3.转移法
4.参数法

【典型例题】
[例1]A（－2，0），B（2，0），动点M满足∠MBA=2∠MAB，求M的轨迹。

解：设M（x，y）
（1）M在线段AB上，∠MBA=2∠MAB=0成立
（2）M不在线段AB上，∠MBA>∠MAB
∴图形在y轴右侧
不妨设M在x轴上方
①∠MBA90°

∴*
②∠MBA=90°时，M（2，4）满足*式
∴轨迹为（）或（）

[例2]圆M：，A（1，0），Q在M上，线段AQ的垂直平分线交半径MQ于P，求P点轨迹。
解：如图，为AQ的垂直平分线∴
∴
∴
∴
∴轨迹为椭圆：

[例3]椭圆M：，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，P为M上任一点，PA1⊥A1Q，PA2⊥A2Q，A1Q、A2Q的交点为Q，求Q点轨迹。

解：设P（）Q（）
∴：
：

∴即：
[例4]过Q（－2，0）作直线，交椭圆于A、B，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求P点轨迹。
解：设P（x，y）
设直线：
∴

∴设
∴k为参数

∴代入
∴
半个椭圆

[例5]已知抛物线，过动点M（）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，且。
（1）求的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
解：（1）设直线的方法为：，代入抛物线方程得
即∴
∴，即又∵∴
（2）设，AB的中点C（x，y）
由（1）知，，，
则有
∴线段AB的垂直平分线的方程为
从而N点坐标为点N到AB的距离为
从而
当有最大值时，S有最大值为

[例6]已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率的双曲线过点P（6，6）。
（1）求双曲线方程；
（2）动直线经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线，使G平分线段MN，证明你的结论。

解：（1）如图，设双曲线方程为
由已知得，解得
所以所求双曲线方程为
（2）P、A1、A2的坐标依次为（6，6）、（3，0）、（－3，0）
∴其重心G的坐标为（2，2）
假设存在直线，使G（2，2）平分线段MN，设M（），N（）
则有，∴
∴的方程为
由，消去y，整理得
∵∴所求直线不存在

[例7]已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点为圆心，为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线对称。
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线过点A，斜率为，当时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时B点的坐标。
解：（1）设双曲线的渐近线为，由=1，解得
即渐近线为，又点A关于y=x对称点的坐标为（0，）
∴，所求双曲线C的方程为
（2）设直线
依题意B点在平行的直线上，且与间的距离为
设直线：，应有，化简得②
把代入双曲线方程得
由，可得③
②、③两式相减得，代入③得，解得
此时，，故

[例8]如图所示，抛物线的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为的直线与线段OA相交（不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线的方程，并求△AMN的最大面积。

解法一：由题意，可设的方程为，其中
由方程组，消去y，得①
∵直线与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式
解得，又，∴m的范围为（－5，0）
设则，
∴点A到直线的距离为
∴
从而

∴，当且仅当，即时取等号
故直线的方程为，△AMN的最大面积为
解法二：由题意，可设与x轴相交于B（m，0），的方程为，其中
由方程组，消去x，得①
∵直线与抛物线有两个不同交点M、N
∴方程①的判别式必成立
设，则
∴

∴，当且仅当即时取等号
故直线的方程为，△AMN的最大面积为

[例9]已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且，。过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（1）证明为定值；
（2）设△ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。
解析：（1）设，则由F与抛物线的焦点得F的坐标为F（0，1）
又∵∴
即
将①式两边平方后，再把代入得③
解②、③式得，且有
∵抛物线方程为，即
∴过抛物线上A、B两点的切线方程分别是，
∴两条切线的交点M的坐标为
∴

故为定值，其定值为0
（2）由（1）问可知
∵
=
又∵，即
∴（当且仅当，即时取等号）
∴，当且仅当时有

[例10]P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为，左焦点为的椭圆上，已知与共线，与共线。，求四边形PMQN的面积的最大值与最小值。
解：∵椭圆的中心为坐标原点，离心率，左焦点F为（－1，0）
∴椭圆方程为
∵与共线，与共线，∴直线PQ和直线MN都过椭圆的左