高三数学导数综合（文）人教实验版（A）.doc

高三数学导数综合（文）人教实验版（A）

【本讲教育信息】
一.教学内容：
导数综合

二.重点、难点：
1.导数应用题
2.函数（）
定义域且奇偶性奇函数值域R单调区间
（－∞，0）（0，+∞）↑图象3.（）
定义域R，值域为R
，

有两根

（－∞，）↑（）↓
（，+∞）↑

（－∞，）↓（）↑
（，+∞）↓
R上↑
无极值
R上↓
无极值
【典型试题】
[例1]研究函数的性质。
解：
∴（－∞，－1）↓（－1，1）↑（1，+∞）↓

定义域R，值域奇函数

[例2]已知二次函数的图像过原点和点（m，0）与点（m+1，m+1）
（I）求的表达式；
（II）设且在和（）处取到极值。
（1）求证：；
（2）若，则过原点且与曲线相切的两条直线能否互相垂直？若能，则给出证明；若不能，请说明理由？
解：（I）设（），由题意得
，解得∴
（II）∵
∴
①由题意知，为方程的两个实根
又，，
∴两根分布在（0，n）（n，m）内
又∴
②设两切点的横坐标分别为，则切线的方程为

又过原点，∴
解得或，同理或，∴

[例3]已知函数在x=0处取得极值，曲线过原点和点P（－1，2），若曲线在点P处的切线与直线的夹角为45°，且该切线的倾斜角为钝角。
（1）求的表达式；
（2）求的单调区间。
解：（1）∵曲线过原点∴∴
，又是的极值点
∴∴（2分）
又∵过点P（－1，2）的切线斜率为，又由题意
解得：（不合题意，舍去）
由即解得∴
（2），令得或
所以在区间（－∞，－2）和（0，+∞）在内为增函数
令得，所以在区间（－2，0）内为减函数
综上知的单调区间为（－∞，－2），（0，+∞），（－2，0）

[例4]已知函数，当时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值。
（1）求的值及函数的极小值；
（2）若对任意，不等式恒成立，试确定实数的最小值。
（1）解：，
∵及x=3时取得极值
∴－1，3是方程的根，即为的两根
由一元二次方程根与系数的关系，有∴
∴
∵时极大值是7，∴，极小值
∴极小值为－25
（2）解：由（1）知在（－1，0）上是减函数
且在[－1，0]上最大值，在[－1，0]上最小值
对任意（－1，0）恒有成立
∴，即的最小值为5

[例5]已知函数，其中。
（1）求证：函数取极大值和极小值的点各有一个；
（2）当的极大值为1，极小值为－1时，过曲线上一点P（3，）作这条曲线的切线，求此切线的方程。
（1）证明：
令，即（*）
∵，故方程（*）有两个不等的实根，记为，不妨设，，的变化情况如下表：
（－∞，）（，）（，+∞）－0+0－↓极小值↑极大值↓由表可见，取极大值和极小值的点各有一个
（2）解：由（1），可知即
两式相加，得③
又，代入③，得
∴
而∴∴，代入（*），得
∵∴，代入①，得
∴函数解析式为
当x=3时，，∴P（3，）又，
由点斜式知所求切线方程为

[例6]已知函数
（1）若在上是单调减函数，求实数的取值范围；
（2）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。
（1）令
在上是减函数
由，得∴
在上是增函数，对
<0恒成立
又∵∴恒成立，即
∵，故，可得，∴
综上可得
（2）
=
令，∵，则，令
当时，显然不成立
当时，
当且仅当时，取最小值
①当时，在为减函数
且恒成立
解，得
②当，则，即不成立
综上得

[例7]已知在时取得极值，且。
（1）试求常数的值；（2）试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由。
解：（1）
∵是函数的极值点，∴是方程，即的两根
由根与系数的关系，得
又∴③
由①②③解得
（2），∴
当或时，，当时，
∴函数在（－∞，－1）和（1，+∞）上是增函数，在（－1，1）上是减函数
∴当x=－1时，函数取得极大值，当x=1时，函数取得极小值

[例8]已知，且
（1）设，求的解析式；
（2）设，试问：是否存在实数，使在（－∞，－1）内为减函数，且在（－1，0）内是增函数。
解：（1）由题意得
∵
∴，∴，
∴
（2）
若满足条件的存在，则
∵函数在（－∞，－1）上是减函数，∴当时，
即对于（－∞，－1）恒成立∴
∵，∴，∴，解得
又函数在（－1，0）上是增函数，∴当－1<x<0时，
即对于（－1，0）恒成立，∴
∵，∴∴，解得
故当时，在（－∞，－1）上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在。

[例9]在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最少？
解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距离D点xkm