高三数学导数综合（文）人教实验版.doc

高三数学导数综合（文）人教实验版【本讲教育信息】一.教学内容：导数综合二.重点、难点：1.导数应用题2.函数（）定义域且奇偶性奇函数值域R单调区间（－∞，0）（0，+∞）↑图象3.（）定义域R，值域为R，有两根（－∞，）↑（）↓（，+∞）↑（－∞，）↓（）↑（，+∞）↓R上↑无极值R上↓无极值【典型试题】[例1]研究函数的性质。解：∴（－∞，－1）↓（－1，1）↑（1，+∞）↓定义域R，值域奇函数[例2]已知二次函数的图像过原点和点（m，0）与点（m+1，m+1）（I）求的表达式；（II）设且在和（）处取到极值。（1）求证：；（2）若，则过原点且与曲线相切的两条直线能否互相垂直？若能，则给出证明；若不能，请说明理由？解：（I）设（），由题意得，解得∴（II）∵∴①由题意知，为方程的两个实根又，，∴两根分布在（0，n）（n，m）内又∴②设两切点的横坐标分别为，则切线的方程为又过原点，∴解得或，同理或，∴[例3]已知函数在x=0处取得极值，曲线过原点和点P（－1，2），若曲线在点P处的切线与直线的夹角为45°，且该切线的倾斜角为钝角。（1）求的表达式；（2）求的单调区间。解：（1）∵曲线过原点∴∴，又是的极值点∴∴（2分）又∵过点P（－1，2）的切线斜率为，又由题意解得：（不合题意，舍去）由即解得∴（2），令得或所以在区间（－∞，－2）和（0，+∞）在内为增函数令得，所以在区间（－2，0）内为减函数综上知的单调区间为（－∞，－2），（0，+∞），（－2，0）[例4]已知函数，当时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值。（1）求的值及函数的极小值；（2）若对任意，不等式恒成立，试确定实数的最小值。（1）解：，∵及x=3时取得极值∴－1，3是方程的根，即为的两根由一元二次方程根与系数的关系，有∴∴∵时极大值是7，∴，极小值∴极小值为－25（2）解：由（1）知在（－1，0）上是减函数且在[－1，0]上最大值，在[－1，0]上最小值对任意（－1，0）恒有成立∴，即的最小值为5[例5]已知函数，其中。（1）求证：函数取极大值和极小值的点各有一个；（2）当的极大值为1，极小值为－1时，过曲线上一点P（3，）作这条曲线的切线，求此切线的方程。（1）证明：令，即（*）∵，故方程（*）有两个不等的实根，记为，不妨设，，的变化情况如下表：（－∞，）（，）（，+∞）－0+0－↓极小值↑极大值↓由表可见，取极大值和极小值的点各有一个（2）解：由（1），可知即两式相加，得③又，代入③，得∴而∴∴，代入（*），得∵∴，代入①，得∴函数解析式为当x=3时，，∴P（3，）又，由点斜式知所求切线方程为[例6]已知函数（1）若在上是单调减函数，求实数的取值范围；（2）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。（1）令在上是减函数由，得∴在上是增函数，对<0恒成立又∵∴恒成立，即∵，故，可得，∴综上可得（2）=令，∵，则，令当时，显然不成立当时，当且仅当时，取最小值①当时，在为减函数且恒成立解，得②当，则，即不成立综上得[例7]已知在时取得极值，且。（1）试求常数的值；（2）试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由。解：（1）∵是函数的极值点，∴是方程，即的两根由根与系数的关系，得又∴③由①②③解得（2），∴当或时，，当时，∴函数在（－∞，－1）和（1，+∞）上是增函数，在（－1，1）上是减函数∴当x=－1时，函数取得极大值，当x=1时，函数取得极小值[例8]已知，且（1）设，求的解析式；（2）设，试问：是否存在实数，使在（－∞，－1）内为减函数，且在（－1，0）内是增函数。解：（1）由题意得∵∴，∴，∴（2）若满足条件的存在，则∵函数在（－∞，－1）上是减函数，∴当时，即对于（－∞，－1）恒成立∴∵，∴，∴，解得又函数在（－1，0）上是增函数，∴当－1<x<0时，即对于（－1，0）恒成立，∴∵，∴∴，解得故当时，在（－∞，－1）上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在。[例9]在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最少？解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距离D点xkm，则∵BD=40，AC=50－x，∴又设总的水管费用为y元，依题意有：，令，解得在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义函数在x=30（km）处取得最小值，此时AC=50－x=20（km）∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省解法二：设∠BCD=Q，则BC=，CD=（）∴设总的水