高三数学不等式的解法人教实验版（B）知识精讲.doc

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高三数学不等式的解法人教实验版（B）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
不等式高考复习三：不等式的解法

二.教学目的
复习掌握常见不等式的解法

三.教学重点、难点
掌握一元二次不等式、简单高次不等式和分式不等式的解法

四.知识分析
解不等式的核心问题是不等式的同解变形，是将复杂的、生疏的不等式问题转化为简单的、熟悉的最简不等式的问题．不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。
一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）的解法是不等式的基础，因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）进行的。
解不等式的过程中，经常要去分母、去绝对值符号等，往往忽略限制条件和变量取值范围的改变；对分步或分类求出的结果，何时求交集，何时求并集很容易失误。
解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．分类的标准是通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件），根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值）、按照解答的需要（例如进行不等式变形时，必须具备的变形条件）等方面来决定，一般都应做到不重复、不遗漏。
高考中可能以选择、填空题的形式考查简单的一元二次不等式或能化为一元二次不等式的分式不等式的解法，或已知二次函数零点的分布考查相应一元二次方程中未知参数的取值范围，也可能以解答题的形式出现，单独考查含参数的一元二次不等式的解法，与函数、导函数相结合考查三次函数的单调区间或已知其单调区间求未知参数的取值范围等。

【典型例题】
【题型一】解一元二次不等式
解一元二次不等式的一般步骤是：
（1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零．
（2）计算对应方程的判别式．
（3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
（4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
例1.解下列不等式：
（1）；
（2）。
解析：（1）方法一：因为△>0
方程有两个实数根-1和2
所以，不等式的解集为
方法二：不等式可变形为
此不等式等价于①或②
不等式组①的解集是
不等式组②的解集是
因此，原一元二次不等式的解集是

（2）两边都乘以，得
因为△<0，方程无实根
所以不等式的解集是空集
即原不等式的解集为

【题型二】解含参数的一元二次不等式的问题
含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏。若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应的方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集。
例2.解关于x的不等式
解析：原不等式可变形为
则方程的两个根为
当a<0时，有a<a2
∴x<a或x>a2
此时原不等式的解集为
当0<a<1时，有
∴
此时原不等式的解集为
当a>1时，有a2>a
∴x<a或x>a2
此时原不等式的解集为
当a=0时，有
∴原不等式的解集为
当a=1时，有
此时原不等式的解集为
综上可知：当a<0或a>1时
原不等式的解集为
当0<a<1时，原不等式的解集为
当a=0时，原不等式的解集为
当a=1时，原不等式的解集为

【题型三】解高次不等式
一元高次不等式求解，一般是先分解为n个一次式的积，运用数轴标根的方法求解，在标根时，对于“重根”情况的处理方法是“奇数次方一穿而过；偶数次方穿而不过”。
例3.解下列不等式
（1）
（2）
解析：（1）原不等式可化为
把方程的三个根顺次标在数轴上，然后从右开始画曲线顺次经过三个根，其解集为如图所示的阴影部分。

∴原不等式的解集为
（2）原不等式等价于
其解集为如下图所示的阴影部分。

∴原不等式的解集为

【题型4】解分式不等式
（1）解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式，分母不为零。
（2）转化为，也可转化为的并集。
（3），也可转化为的并集。
例4.解不等式
（1）（2）
解析：（1）移项，整理原不等式化为

∵恒成立
∴原不等式等价于
即
其解集为如图所示的阴影部分

原不等式的解集为
（2）移项，整理原不等式化为：
即
其解集为如图所示的阴影部分

∴原不等式的解集为

例5.已知两个非零向量为，解关于x的不等式（其中a>0）。
解析：
由得：
①当a=2时，原不等式，∴x>2
②当时，
由于
而a>0，于是有：
（i）当，即0<a<2时，
原不等式
∴
（ii）当，即a>2时，
原不等式
∴
综上可得：当0<a<2时，原不等式解集为
当a=2时，原不等式解集为
当a>2时，原不等式解集为

例