高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算开卷速查-人教版高三全册数学试题.doc

开卷速查(十三)变化率与导数、导数的计算
A级基础巩固练
1．[2016·哈尔滨模拟]已知f(x)＝x(2013＋lnx)，f′(x0)＝2014，则x0等于()
A．e2 B．1
C．ln2 D．e
解析：因为f(x)＝2013x＋xlnx，
所以f′(x)＝2013＋lnx＋1＝2014＋lnx，
又因为f′(x0)＝2014，
所以2014＋lnx0＝2014，解得x0＝1。
答案：B
2．已知曲线y＝eq\f(x2,2)－3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()
A．3 B．2
C．1 D.eq\f(1,2)
解析：设切点坐标为(x0，y0)，且x0＞0，
由y′＝x－eq\f(3,x)，得k＝x0－eq\f(3,x0)＝2，∴x0＝3。
答案：A
3．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()
A．2 B．0
C．－2 D．－4
解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，
令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，
所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4。
答案：D
4．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是()
A．1 B.eq\f(1,64)
C．1或eq\f(1,64) D．1或－eq\f(1,64)
解析：易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，
(1)当O(0,0)是切点时，易得a＝1。
(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，且k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2。①
又k＝eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2，②
由①，②联立，得x0＝eq\f(3,2)(x0＝0舍)，
∴k＝－eq\f(1,4)。
∴所求切线l的方程为y＝－eq\f(1,4)x。
由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x，,y＝x2＋a，))得x2＋eq\f(1,4)x＋a＝0。
依题意，Δ＝eq\f(1,16)－4a＝0，∴a＝eq\f(1,64)。
综上，a＝1或a＝eq\f(1,64)。
答案：C
5．曲线y＝alnx(a＞0)在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则a的值为()
A．4B．－4
C．8D．－8
解析：y′＝eq\f(a,x)，在x＝1处的切线斜率k＝a，当x＝1时，y＝aln1＝0，即切点坐标为(1,0)，因此切线方程为y＝a(x－1)，令y＝0得x＝1，令x＝0得y＝－a，因为a＞0，所以所围成的三角形的面积为eq\f(1,2)×a×1＝4，解得a＝8。
答案：C
6．已知函数f(x)＝x2的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是()
A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)) B．(0，－4)
C．(2,3) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,4)))
解析：由题意知，A(x1，xeq\o\al(2,1))，B(x2，xeq\o\al(2,2))，f′(x)＝2x，则在A，B两点处的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2。
又两切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－eq\f(1,4)。
两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－xeq\o\al(2,1)，l2：y＝2x2x－xeq\o\al(2,2)，
联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0。
∵x1≠x2，∴x＝eq\f(x1＋x2,2)，代入l1，
解得y＝x1x2＝－eq\f(1,4)，故选D。
答案：D
7．[2014·广东]曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为__________。
解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0。
答案：5x＋y＋2＝0
8．[2014·江西]若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是__________。
解析：由题意得y′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e)。
答案：(e，e)
9．[201