高中数学 向量的数量积（2）随堂练习 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学试题.doc

向量的数量积（2）
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝eq\r(7)，则a与b的夹角θ为

2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为。

3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于

4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为

5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．

6．已知|a|＝6，a与b的夹角为eq\f(π,3)，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72.则|b|＝________.

7．在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M满足＝2，则·＝________.

8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则eq\f(|a|,|b|)＝________.

9．已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,2)，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2).
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.

10．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

答案
1.解析：∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，
∴a·b＝－eq\f(3,2)，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2).
又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).
答案：θ＝eq\f(2π,3).
2.解析：∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
答案：6
3.解析：∵AM＝1，且＝2，
∴||＝eq\f(2,3).
如图，·(＋)＝·2＝·＝＝(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9).
答案：eq\f(4,9)
4．解析：∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，
∴a与c的夹角为60°.
又|a－c|＝eq\r(a2－2a·c＋c2)＝eq\r(1－|c|＋|c|2)
＝eq\r(|c|－\f(1,2)2＋\f(3,4))
故|a－c|min＝eq\f(\r(3),2).
答案：eq\f(\r(3),2)
5.解析：＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，
于是|＋|＝|－|，
所以|＋|2＝|－|2，
即·＝0，从而AB⊥AC.
答案：直角三角形
6.解析：由已知，a2－a·b－6b2＝－72，
∴|a|2－|a||b|coseq\f(π,3)－6|b|2＝－72，
即2|b|2＋|b|－36＝0.∴(2|b|＋9)(|b|－4)＝0.
∵|b|≥0，∴|b|＝4.
答案：4
7.解析：∵＝＋
＝＋eq\f(2,3)
＝＋eq\f(2,3)(－)
＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)，
又C＝90°，·＝0，
∴·＝(eq\f(2,3)＋eq\f(1,3))·
＝eq\f(1,3)＝3.
答案：3
8.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，
∴|a＋2b|＝eq\r(a2＋4b2)，|a－2b|＝eq\r(a2＋4b2).
∴cos120°＝eq\f(a＋2b·a－2b,|a＋2b||a－2b|)＝eq\f(a2－4b2,\r(a2＋4b2)2)
＝eq\f(a2－4b2,a2＋4b2)＝－eq\f(1,2).
∴eq\f(a2,b2)＝eq\f(4,3).∴eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(2\r(3),3).
答案：eq\f(2\r(3),3)
9.解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝eq\f(1,2)，|a|＝1，
∴b2＝a2－eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，
∴|b|＝eq\f(\r(2),2).
∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2),1×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2).
又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,4)，
故a与b的夹角为eq\f(π,4).
(2)|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\f(\r(10),2).
10.解：假设存在满足条件的θ，