高中数学 向量的数量积（4）随堂练习 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学试题.doc

向量的数量积（4）
1．(2012·辽宁高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝
2．已知点A(－1,0)、B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数k的值为
3．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是
4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于
5．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与－b垂直，则实数x的值为________．
6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝eq\r(2)，则|·n|的最大值为________．
7．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为________．
8．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转eq\f(π,4)得到向量b，则向量b的坐标为________．
9．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求向量；
(3)求证：AD2＝BD·CD.

10．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．

答案
1.解析：由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.
答案：1
2.解析：＝(2,3)，a＝(2k－1,2)，由⊥a得2×(2k－1)＋6＝0，解得k＝－1.
答案-1
3．解析：设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，
＝(x－4，－1)，
∴·＝(x－2)(x－4)＋2
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
故当x＝3时，·最小，此时P(3,0)．
答案：P(3,0)
4.。解析：如图，＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，
则·＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8.
答案：8
5.解析：∵向量a＋xb与－b垂直，
∴(a＋xb)·(－b)＝－a·b－xb2＝－2－5x＝0，
∴x＝－eq\f(2,5).
答案：－eq\f(2,5)
6.解析：＝(2,2)，||＝2eq\r(2)，|·n|≤|||n|＝4，当且仅当与n共线且同向时取等号．
答案：4
7.解析：＝－＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而·＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以⊥，
又||≠||，所以△ABC是直角非等腰三角形．
答案：直角三角形
解析：设b＝(x，y)，由已知条件得
|a|＝|b|，a·b＝|a||b|cos45°.
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,2x＋y＝\r(5)×\r(5)×\f(\r(2),2)，))
解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(3\r(2),2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3\r(2),2)，,y＝－\f(\r(2),2).))
∵向量a按逆时针旋转eq\f(π,4)后，向量对应的点在第一象限，∴x>0，y>0，∴b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2))).
答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2)))
9.解：(1)∵＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，
＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)，
·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，
∴AB⊥AC.
(2)＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)．
设＝λ＝(5λ，5λ)
则＝＋
＝(－3，－6)＋(5λ，5λ)
＝(5λ－3,5λ－6)，
由AD⊥BC得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，解得λ＝eq\f(9,10)，
∴＝(eq\f(3,2)，－eq\f(3,2))．
(3)证明：＝eq\f(9,4)＋eq\f(9,4)＝eq\f(9,2)，
||＝eq\r(50λ2)＝eq\f(9\r(2),2)，
||＝5eq\r(2)，||＝||－||＝eq\f(\r(2),2).
∴||2＝||·||，即AD2＝BD·CD.
解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
∴向量与共线，又＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，
∴＝(1－2y,7－y)．
同