高中数学 2.2.3 向量的数乘互动课堂学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案.doc

高中数学2.2.3向量的数乘互动课堂学案苏教版必修4
疏导引导
1.向量数乘的定义及几何意义
（1）实数λ与a的积是一个向量，记作λa，它的长|λa|=|λ|·|a|.它的方向是这样定义的：当a≠0时.λ＞0，λa与a同向；λ＜0,λa与a反向；当λ=0或a=0时，0a=0或λ0=0.
(2)根据向量数乘的定义.a与λa为共线向量，两者方向相同或相反，（a≠0,λ≠0）在此前提下，λa可以理解为把a的长度扩大（|λ|＞1）或缩小（|λ|＜1）.由此可得向量数乘的几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.
（3）几点说明
①λa中的实数λ,叫做向量a的系数，此系数决定着λa与a的模的关系及方向相同或相反.
②向量数乘的特殊情况：当λ=0时，λa=0，而当a=0时，λa=0.
③实数与向量可以求积，并且结果为一向量，但不能进行加、减运算，如λ+a,λ-a根本无意义.
2.向量数乘的运算律
向量数乘满足下列运算律：
设λ,u为实数，则
(1)（λ+u）a=λa+ua,(2)λ(ua)=(λu)a，(3)λ(a+b)=λa+ub(分配律).
疑难疏引向量数乘的运算律与中学代数中实数乘法的运算律极为相似，只是向量的数乘分配律由于因子的不同，可分为（λ+u）a=λa+ua和λ(a+b)=λa+ub.但两者也有区别：中学代数中的实数运算的结果是一个数，只满足一种分配律，而向量的数乘的结果是一个向量，满足两种分配律.
3.向量的线性运算
向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算，也叫做向量的初等运算.
案例1（1）计算下列各式：
①2(a+b)-3(a-b);
②3(a-2b+c)-（2c+b-a）;
③（a-b）-（2a+4b）+（2a+13b）.
（2）设x、y是未知向量
解方程组
【探究】要解决（1）中的问题，需要用到数乘向量的运算律.包括：数乘向量的分配律及向量加、减法的运算律，其运算过程类似合并同类项.（2）是解关于未知向量的方程或方程组.它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.
【解】（1）①2（a+b）-3（a-b）=2a+2b-3a+3b=-a+5b.
②3(a-2b+c)-(2c+b-a)=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.
③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)
=a-b-a-b+a+b
=(-+)a+(--+)b
=0a+0b=0.
(2)把第1个方程的-2倍与第2个方程相加，得y=-2a+b，从而y=-a+b,代入原来第2个方程得x=-a+b.
∴
规律总结向量的线性运算的最终结果是向量.进行向量线性运算的理论依据是向量数乘的运算法则.
4.利用向量数乘的定义和运算律解决几何问题
利用向量数乘的定义或运算律可以解决一些几何问题，例如在探求线段相等、三角形相似等问题上.
案例2如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，求证MN∥BC，且MN=BC.

【探究】把平面问题转化为向量问题解决非常方便，本题只需证明=.
【证明】∵M、N分别是、的中点，
∴=-
=（-）=.
∴∥，且||=||，
即MN∥BC，且MN=BC.
规律总结利用平面向量的知识证明平面几何问题，这是向量的一个重要应用，但应注意向量与线段是不同的，它既有大小，又有方向.
活学巧用
【例1】已知a、b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由.
（1）2a与a的方向相同，且2a的模是a模的两倍；
（2）-2a与5a的方向相反，且-2a的模是5a的模的倍；
（3）-2a与2a是一对相反向量.
（4）a-b与-（b-a）是一对相反向量.
分析:本题主要考查向量数乘的定义，在定义中一定要注意λa与a方向及模的关系.
解：（1）正确，∵2＞0,
∴2a与a的方向相同，又|2a|=2|a|，
∴（1）的说法正确.
（2）正确，∵5＞0，
∴5a与a方向相同，且|5a|=5|a|，而-2＜0，
∴-2a与a的方向相反，且|-2a|=2|a|，
∴5a与-2a的方向相反，且-2a是5a模的.故（2）的说法正确.
（3）正确，按照相反向量的定义可以判断.
（4）错误，因为-（b-a）与b-a是一对相反向量，而a-b与b-a是一对相反向量，故a-b与-（b-a）为相等向量.
【例2】已知m、n为非零实数，a、b为非零向量，则下列命题正确的个数为（）
①m(a-b)=ma-mb；②(m-n)a=ma-na；③ma=mb,则a=b；④若ma=na,则m=n.A.4B.3C.2D.1
分析：完成本题要理解领会向量数乘的运算律.
解：①②分别是向量数乘运算律中的分配律，因此正确；由于m≠0，故ma=mb,能推出a=b，③正确；由于a≠0,故ma=na可得m=n，④正