高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念学案（含解析）新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案.doc

1．2.1函数的概念

函数的概念[提出问题]
某物体从高度为44.1m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝eq\f(1,2)gt2，其中g取9.8m/s2.
问题1：时间t和物体下落的距离s有何限制？
提示：0≤t≤3,0≤s≤44.1.
问题2：时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？
提示：确定．
问题3：下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？
提示：不能．
[导入新知]
函数的有关概念
函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法y＝f(x)，x∈A定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域[化解疑难]
理解函数的概念应关注五点
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．
区间[导入新知]
区间的概念及表示
定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|x≥a}半开半闭区间[a，＋∞){x|x>a}开区间(a，＋∞){x|x≤a}半开半闭区间(－∞，a]{x|x<a}开区间(－∞，a)R开区间(－∞，＋∞)[化解疑难]
1．理解区间概念的注意点
(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；
(2)区间表示实数集的几条原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；
(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；
(4)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立．
2．关于无穷大的两点说明
(1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．

函数的判断[例1](1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是()

(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？
①f：把x对应到3x＋1；
②g：把x对应到|x|＋1；
③h：把x对应到eq\f(1,x)；
④r：把x对应到eq\r(x).
[解](1)选Dy是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的y和它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x，大多都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义．
(2)①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应．如x＝－1，则3x＋1＝－2与之对应．
同理，②也是实数集R上的一个函数．
③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，eq\f(1,x)的值不存在．
④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，eq\r(x)的值不存在．
[类题通法]
1．判断所给对应是否为函数的方法
(1)首先观察两个数集A，B是否非空；
(2)其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，即不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应x.
2．根据图形判断对应是否为函数的方法步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
[活学活用]
在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是()
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝eq\f(x,3)；
②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；
③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25；
④A＝R，B＝R，对应关系f：x→y＝x2；
⑤A＝{(x，y)