陕西省西安市雁塔区2023年中考数学一模试卷及答案解析.pdf

陕西省西安市雁塔区2023年中考数学一

模试卷及答案解析

第一部分选择题

1.（D）解析：题目给定的是线段$AB$的长度为5，$AC$的

长度为4，$AD$的长度为3，则$\angleBAC$的余角为$\angle
CAD$，记$\angleBAC=\alpha$，则$\angleDAC=90-\alpha$，由

正弦定理：

$$\frac{\sin\alpha}{5}=\frac{\sin(90-\alpha)}{3}$$
解得$\sin\alpha=\frac{5}{8}$，则$\cos\alpha=\sqrt{1-

\sin^2\alpha}=\frac{3}{8}$，$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=

\frac{1}{16}$，所以$\cos2\alpha=\frac{1}{8}$。

2.（B）解析：利用勾股定理求出$\overline{BC}$的长度为5，

设两条直线的交点为$O$，则$S_{\triangleABO}=

\frac{1}{2}\times4\times3=6$，$S_{\triangleBCO}=

\frac{1}{2}\times3\times4=6$，所以$S_{\triangleABO}=

S_{\triangleBCO}$，则$\triangleABO$与$\triangleBCO$的底边分
别平行，则$\angleA=\angleC$，所以$BD$垂直于$BC$，则
$\triangleABD$与$\triangleCBD$合为一个直角三角形，所以
$AB^2+BD^2=AC^2+CD^2$，带入数值即可。

3.（C）解析：设三个数字分别为$a,b,c$，则$$\begin{cases}
a+b+c=18\\

ab+bc+ac=69\\

abc=108
\end{cases}

$$

则$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$，带入题目中的信息
得：

$$a^2+b^2+c^2=45$$
根据算术平均数和平方均数的关系，

$\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq(\frac{a+b+c}{3})^2$，所以$45\geq36$，

则不等式成立，答案为（C）。

4.（A）解析：由于$x,y,z$互不相同，则$1\leqslant

x,y,z\leqslant4$，根据题目中给出的条件可列出：

$$\begin{cases}2x+3y+z=20\\x+5y+4z=35\\x+y+2z=13
\end{cases}$$
解得$x=1,y=2,z=5$，则$$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+
\frac{z}{x+y}=\frac{1}{7}+\frac{2}{6}+\frac{5}{8}=

\frac{51}{56}>\frac{1}{2}$$

答案为（A）。

5.（D）解析：找规律题，$a_1=2,a_2=7,a_3=15,a_4=26$，则

可以发现
$$a_n=(n+1)^2-2$$

当$n=10$时，$a_{10}=99$，答案为（D）。

第二部分解答题

21.

（1）解析：$\triangleACF\sim\triangleAEB$，所以

$\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AF}$，等式两边同乘以$AC$，得$AE

=\frac{9}{2}$，$BE=AB-AE=\frac{7}{2}$，所以$S_{\triangle

ABE}=\frac{1}{2}\times\frac{9}{2}\times\frac{7}{2}=\frac{63}{8}$，

$S_{\triangleACF}=S_{\triangleABC}-S_{\triangle
ABE}=\frac{81}{8}-\frac{63}{8}=3$。

（2）解析：$\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AF}$，所以$AF=

\frac{AB\timesAC}{AE}=\frac{45}{4}$，则由正弦定理可得：

$$\sin\angleBDF=\frac{BD}{BF}\cdot\sin\angleABE=
\frac{\frac{1}{2}AC\tan\alpha}{\frac{45}{4}}\cdot\frac{\frac{9}{2}}{

\sqrt{\frac{81}{4}+\frac{45^2}{16}}}\approx0.188$$

所以$\angleBDF\approx11^\circ2'$，答案为（11，2）。

22.

(1)解析：如下图所示，$CP$是$\triangleAB