新教材人教A版数学必修第二册课后落实6.2.4-向量的数量积Word版含解析.doc

课后素养落实(五)向量的数量积
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．给出以下五个结论：
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤|a·b|≤a·b．
其中正确结论的个数为()
A．1B．2C．3D．4
C[①②③显然正确；(a·b)c与c共线，而a(b·c)与a共线，(a·b)c与a(b·c)不一定相等，故④错误；a·b是一个实数，应该有|a·b|≥a·b，故⑤错误．]
2．已知|a|＝3，a与b的夹角为120°，则a在b方向上的投影向量的模为()
A．eq\f(3,2)B．eq\f(3\r(3),2)C．2D．2eq\r(3)
A[∵|a|＝3，a与b的夹角为120°，∴|a|cos120°＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，∴a在b方向上的投影向量的模为eq\f(3,2)．]
3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()
A．4B．3C．2D．0
D[∵a∥b，a⊥c，
∴b⊥c，
∴a·c＝0，b·c＝0，
c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0．]
4．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))等于()
A．－eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(3,2)D．eq\f(3,2)
C[因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝1×eq\r(3)×cos150°＝－eq\f(3,2)．]
5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为()
A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)
C[|a－2b|＝|a＋b|⇒(a－2b)2＝(a＋b)2⇒a·b＝eq\f(1,2)b2⇒cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,\f(3,2)b2)＝eq\f(1,3)．]
二、填空题
6．已知向量e1，e2的模分别为1,2，e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，则(e2－e1)·e2的值为________．
3[由题意，可知(e2－e1)·e2＝eeq\o\al(2,2)－e1·e2＝|e2|2－|e1||e2|coseq\f(π,3)＝22－1×2×coseq\f(π,3)＝3．]
7．已知向量|a|＝eq\r(,5)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(,2)，则|b|＝________．
5[|a|2＝5，|a＋b|＝5eq\r(,2)，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5．]
8．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．
eq\f(π,3)[由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，
即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cosθ＝0，
|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cosθ＝0，故|a|2＝|b|2，
即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cosθ＝0，故cosθ＝eq\f(1,2)，
因为0≤θ≤π，故θ＝eq\f(π,3)．]
三、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．
(1)求a与b的夹角θ的值；
(2)求|a＋b|．
[解](1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．
∵|a|＝4，|b|＝3，
∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2)，
又θ∈[0，π]，
∴θ＝eq\f(2π,3)．
(2)由已知及(1)所求得，|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝eq\r(13)．
10．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
[解]∵a⊥b，∴a·b＝0．
由已知得[a＋(t－3)b