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送检文档：幂等矩阵的性质及其应用
论文作者：张梦越

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摘要：在高等代数中，幂等矩阵既特殊又重要，且在矩阵研究及应用中不可或缺.本文主要证明了幂等矩阵的若
干性质，又指出来了幂等矩阵的若干应用.通过对性质的概括和证明使得抽象内容变得易于理解.
关键词：幂等矩阵；伴随矩阵；可逆矩阵；单位矩阵
Abstract:Inhigheralgebra,idempotentmatrixisspecialandimportant,anditisindispensableintheresearchandapplication
ofmatrix.Inthispaper,somepropertiesofidempotentmatricesareproved,andsomeapplicationsofidempotentmatricesare
pointedout.Abstractcontentbecomeseasytounderstandbygeneralizingandprovingthenature.
Keywords:Idempotentmatrix;Companionmatrix;Invertiblematrix;Identitymatrix
引言
在高等代数中，幂等矩阵是特殊矩阵中具有代表性的一类矩阵，也是较为常用的一类矩阵.幂等矩阵不仅在高等
代数中发挥着重要的作用，也在其他的学科中有着重要的影响.因此，幂等矩阵是我们学好高等代数和其他学科
的重要工具.幂等矩阵是高等代数中一类特殊矩阵，它和可逆矩阵，对角矩阵等其他特殊矩阵有着密切的联系.本
文主要研究了幂等矩阵的性质和幂等矩阵的应用，并系统概括，给出分析，归纳和证明.通过幂等矩阵性质的证
明和部分性质更深层次的描述，多角度的研究了幂等矩阵的有关结论.
1.预备知识
1.1符号介绍
实数域
实数域维列向量空间
实数域上的阶矩阵
复数域
复数域维列向量空间
复数域上的阶矩阵
矩阵的转置
矩阵的伴随
矩阵的逆
矩阵秩
矩阵的迹
1.2概念及引理
定义1设为阶方阵，有，则就是幂等矩阵.
定义2设，记,有
就为级实幂等矩阵.
引理1幂等矩阵必是方阵.
引理2单位矩阵和零矩阵都是幂等矩阵.
引理3若幂等矩阵可逆，那么幂等矩阵就是单位矩阵.
证明由于是幂等矩阵，则有，所以.
引理4若存在幂等矩阵，那么也是幂等矩阵.
证（数学归纳法）时，结论显然成立.设时结论成立.
现证时：
可知当时结论成立，由数学归纳法得任意结论都成立.
2.幂等矩阵的性质
2.1幂等矩阵的简单性质

性质1存在为幂等矩阵，那么必然存在转置矩阵也是幂等矩阵.
证明由于，所以，即结论成立.
性质2若矩阵满足,.则,,都是次幂等矩阵.
证明对于有
对于有
对于有
即结论成立.
性质3与幂等矩阵相似的矩阵仍是幂等矩阵.
证明设为阶矩阵，为幂等矩阵，此时由于,且与相似，必有阶矩阵,可得，即结论成立.
性质4存在，都是同阶幂等矩阵，并有,那么一定为幂等矩阵.
证明对有
对有
对有
由性质1知结论成立.
性质5若阶方阵是幂等矩阵，则的伴随矩阵及都是幂等矩阵.
证明先证，设存在两个幂等矩阵，,那么有关系式