1.3 导数在研究函数中的应用1．3.1 函数的单调性与导数.doc

导数在研究函数中的应用1．函数的单调性与导数

eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)
1．在以下结论中，正确的有
()．
(1)单调增函数的导数也是单调增函数；
(2)单调减函数的导数也是单调减函数；
(3)单调函数的导数也是单调函数；
(4)导函数是单调的，那么原函数也是单调的．
A．0个B．2个C．3个D．4个
解析分别举反例：(1)y＝lnx．(2)y＝eq\f(1,x)(x>0)．
(3)y＝2x.(4)y＝x2，应选A.
答案A
2．函数y＝eq\f(1,2)x2－lnx的单调减区间是
()．
A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
解析∵y＝eq\f(1,2)x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－eq\f(1,x)，令y′<0，即x－eq\f(1,x)<0，解得：0<x<1或x<－1.
又∵x>0，∴0<x<1，应选A.
答案A
3．假设函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，那么实数a的取值范围是
()．
A．a≥1 B．a＝1
C．a≤1 D．0<a<1
解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1<0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
答案A
4．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________．
解析f′(x)＝eq\f(2x－1,x2－x－2)，令f′(x)<0得x<－1或eq\f(1,2)<x<2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．
答案(－∞，－1)
5．假设三次函数f(x)＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞)内是增函数，那么a的取值范围是________．
解析f′(x)＝3ax2＋1，∴f(x)在R上为增函数，∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a>0.
答案(0，＋∞)
6．x>1，证明：x>ln(1＋x)．
证明设f(x)＝x－ln(1＋x)(x>1)，
f′(x)＝1－eq\f(1,1＋x)＝eq\f(x,1＋x)，由x>1，知f′(x)>0.
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
又f(1)＝1－ln2>0，
即f(1)>0.∵x>1，∴f(x)>0，即x>ln(1＋x)．
eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)
7．当x>0时，f(x)＝x＋eq\f(2,x)的单调递减区间是
()．
A．(2，＋∞) B．(0,2)
C．(eq\r(2)，＋∞) D．(0，eq\r(2))
解析f′(x)＝1－eq\f(2,x2)＝eq\f(x2－2,x2)＝eq\f(x－\r(2)x＋\r(2),x2).
由f′(x)<0且x>0得0<x<eq\r(2)，应选D.
答案D
8．函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象
如下列图，那么y＝f(x)的图象可能是()．

解析当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，那么在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意．
答案D
9．使y＝sinx＋ax为R上的增函数的a的范围是________．
解析∵y′＝cosx＋a>0，∴a>－cosx，对x∈R恒成立．∴a>1.
答案(1，＋∞)
10．f(x)＝x2＋2xf′(1)，那么f′(0)＝________.
解析∵f(x)＝x2＋2xf′(x)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2×1＋2f(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f′(0)＝2×0＋2f′(1)＝2×(－2)＝－4.
答案－4
11．函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间．
解f′(x)＝3x2＋a.
∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，那么－5,5是方程3x2＋a＝0的根，∴af′(x)＝3x2－75，
令f′(x)>0，那么3x2－75>0，解得x>5或x<－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．
12．(创新拓展)求以下函数的单调区间，并画出大致图象：
(1)y＝x＋eq\f(9,x)；(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
解(1)函数y＝x＋eq\f(9,x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
∵y＝x＋eq\f(9,x)，∴y′＝1－eq\f(9,x2).
当y′＞0，