高中数学竞赛辅导讲义 第五章 数列【讲义】.pdf

第五章数列

一、基础知识

定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数

列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1,a2,

a3,…，an或a1,a2,a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n

的具体表达式，称为数列的通项。

定理1若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1,当n>1时，an=Sn-Sn-1.

定义2等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），

则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列，即

2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d,则a=b-d,c=b+d.

定理2等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和

n(a1+an)n(n-1)
公式：Sn==na+d；3）an-am=(n-m)d，其中n,m为正
212

整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p,q，恒

有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差

数列的充要条件是Sn=An2+Bn.

an+1
定义3等比数列，若对任意的正整数n，都有=q，则{an}称为
an

等比数列，q叫做公比。
n-1
定理3等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q¹1时，

n
a1(1-q)
Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a,b,c成等比数列，即
1-q

2
b=ac(b¹0)，则b叫做a,c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。

定义4极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的e>0，存在M，

对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<e，则称A为n→+∞时数列{an}的极

限，记作liman=A.
n®¥

定义5无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则

称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）

a
为1（由极限的定义可得）。
1-q

定理3第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）

当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得

命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理

定理4第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）

当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，

则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程
2n-1n-1
x=ax+b的两个根为α,β:(1)若α¹β，则xn=c1a+c2β，其中c1,c2

n-1
由初始条件x1,x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2)α，其中

c1,c2的值由x1,x2的值确定。

二、方法与例题

1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是

正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特

殊→猜想→数学归纳法证明。

例1试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，

24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

nn2
【解】1）an=n2-1；2）an=3-2；3）an=n-2n.

12
例2已知数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=nan,n≥1，求通项an.
2

12
【解】因为a1=,又a1+a2=2·a2,
2

1a1+a211
所以a2=，a3==,猜想a=(n≥1).
3´232-13´4nn(n+1)

1
证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成
2´1

立。

2
当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+a1+…+a1=[(k+1)-1]ak+1,，
111
所以+++=k(k+2)ak+1,
2´13´2Lk´(k+1)

11111
即1-+-++-=k(k+2)ak+1,
223Lkk+1

k1
所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=.
k+1(k+1)(k+2)

1
由数学归纳法可得猜想成立，所以a=.
nn(n+1)

1
例3设0<a<1，数列{an}满足an=1+a,an-1=a+，求证：对任意n∈N+,
an

有an>1.

【证明】证明更强的结论：1<an≤1+a.

1)当n=1时，1<a1=1+a，①式成立；

2)假设n=k时，①式成立，即1<an≤1+a，则当n=k+1时，有

111+a+a2