高中数学竞赛教材讲义 第五章 数列.doc

-8-用心爱心专心第五章数列一、基础知识定义1数列按顺序给出的一列数例如123…n….数列分有穷数列和无穷数列两种数列{an}的一般形式通常记作a1a2a3…an或a1a2a3…an…。其中a1叫做数列的首项an是关于n的具体表达式称为数列的通项。定理1若Sn表示{an}的前n项和则S1=a1当n>1时an=Sn-Sn-1.定义2等差数列如果对任意的正整数n都有an+1-an=d（常数）则{an}称为等差数列d叫做公差。若三个数abc成等差数列即2b=a+c则称b为a和c的等差中项若公差为d则a=b-dc=b+d.定理2等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d其中nm为正整数；4）若n+m=p+q则an+am=ap+aq；5）对任意正整数pq恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若AB至少有一个不为零则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3等比数列若对任意的正整数n都有则{an}称为等比数列q叫做公比。定理3等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn当q1时Sn=；当q=1时Sn=na1；3）如果abc成等比数列即b2=ac(b0)则b叫做ac的等比中项；4）若m+n=p+q则aman=apaq。定义4极限给定数列{an}和实数A若对任意的>0存在M对任意的n>M(n∈N)都有|an-A|<则称A为n→+∞时数列{an}的极限记作定义5无穷递缩等比数列若等比数列{an}的公比q满足|q|<1则称之为无穷递增等比数列其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。定理3第一数学归纳法：给定命题p(n)若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立则由（1）（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。竞赛常用定理定理4第二数学归纳法：给定命题p(n)若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立则由（1）（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。定理5对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2设它的特征方程x2=ax+b的两个根为αβ:(1)若αβ则xn=c1an-1+c2βn-1其中c1c2由初始条件x1x2的值确定；(2)若α=β则xn=(c1n+c2)αn-1其中c1c2的值由x1x2的值确定。二、方法与例题1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律当然结论未必都是正确的但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）038152435…；2）151965…；3）-103815…。【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.例2已知数列{an}满足a1=a1+a2+…+an=n2ann≥1求通项an.【解】因为a1=又a1+a2=22·a2所以a2=a3=猜想(n≥1).证明；1）当n=1时a1=猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。当n=k+1时由归纳假设及题设a1+a1+…+a1=[(k+1)2-1]ak+1所以=k(k+2)ak+1即=k(k+2)ak+1所以=k(k+2)ak+1所以ak+1=由数学归纳法可得猜想成立所以例3设0<a<1数列{an}满足an=1+aan-1=a+求证：对任意n∈N+有an>1.【证明】证明更强的结论：1<an≤1+a.1)当n=1时1<a1=1+a①式成立；2)假设n=k时①式成立即1<an≤1+a则当n=k+1时有由数学归纳法可得①式成立所以原命题得证。2．迭代法。数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立因此可将其中的n换成n+1或n-1等这种办法通常称迭代或递推。例4数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0n≥3q0求证：存在常数c使得·an+【证明】·an+1+(pan+1+an+2)+=an+2·(-qan)+=+an(pqn+1+qan)]=q().若=0则对任意n+=0取c=0即可.若0则{+}是首项为公式为q的等比数列。所以+=·qn.取·即可.综上结论成立。例5已知a1=0an+1=5an+求证：an都是整数n∈N+.【证明】因为a1=0a2=1所以由题设知当n≥1时an+1>an.又由an+1=5an+移项、平方得①当n≥2时把①式中的n换成n-1得即②因为an-1<an+1所以①式和②式说明an-1an