解题后反思 思什么 专题辅导 不分版本 试题.doc

解题后反思，思什么？

徐加生
从近几年的高考试卷来看，对应试者的“能力要求逐年提高”。题海战术的功效明显下降，大量较少思考的重复训练，只能熟练、不能提高，对能力的发展帮助不大。著名数学教育家波利亚说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”。所谓的回顾，即我们现在说的反思。对解题思路、解题过程的反思，可以帮助我们快速找出错误，以便及时改正。对各类题型的反思，可从帮助我们总结、归纳和辨别、澄清与此题相关的问题，达到做一道题，会一类题的效果。那么应该反思些什么呢？可以从以下几个角度去考虑。
一思：解题过程合理吗？
解完一道题后，应作进一步的思考：题目中所有的条件都用过了吗？用足了吗？（含括号内的条件），题目所要求的问题解决了吗？解题中所引用的知识是否是书中已证过的结论？还有没有需要增加说明和剔除的部分等。
例1.已知，且，求的值。
错解：

由，则
所以
反思：这是一类典型的错误，主要原因是忽视了范围条件的挖掘与使用。事实上，由
，知；，知，
故，应取。
二思：解题思路严谨吗？
解题中会受到题目中某些信息的主导和干扰，不能够周密地考虑问题，使解题过程偏离方向，造成误解。对解题思路的反思，能及时修正错误。
例2.过点P（1，－2）作圆的切线，求切线方程。
错解：设过点P（1，－2）的切线方程为
则圆心（0，0）到切线的距离等于半径1，
即，解之得
则所求的切线方程为
反思：从结果上看，圆只有一条切线，但点P在圆外，应该有两条切线，上述解答不正确。究其原因，是还有一条斜率不存在的直线被弄丢了，这条直线不适合用点斜式方程。所以对直线方程的使用要分清类别，不能漏解。易知x＝1为圆的另一条切线方程。
三思：解题方法优化吗？
很多数学问题有多种解法，解题后要多角度思考，看是否还有其他解法，通过寻找新的方法，可以开拓思路，防止思维定势，及时总结出各类解题技巧，并养成“从优、从快”的解题方式。
例3.已知函数，若，求证。
分析一：原不等式即
要证此不等式成立，平方后即证

即
当时，不等式恒成立
当时，即要证
即
由，知此式成立，而上述各步都可逆，命题得证。
分析二：原不等式即
又，即只要证
由于成立，知命题得证。
分析三：设，则是顶点为（0，1）的双曲线的上支。
由于双曲线的两条渐近线为，其斜率为，则双曲线上支上的两点A（a，f(a)），B（b，f(b)）的连线斜率，即有成立。
分析四：由于表示点O（0，0）与A（1，a）之间距离|OA|，表示点O（0，0）与B（1，b）之间的距离|OB|，而|AB|＝|a－b|，由于，即A、B不重合，故必有，即成立。
四思：哪些题形异，质相同？
数学问题是形式多样的，有些题的形式虽然不一样，但可归结到一种题型上去，通过这一道题的解决，达到会解一类题，所以解题后要反思题目实质，并进行归类，总结通解通法。
例4.已知关于x的方程有实数解，求实数a的取值范围。
分析：原题等价于“求函数的值域”，易知

又，故
再如以下三题：
①若方程在上有实数解，求a的取值范围；
②求函数的值域；
③实数a为何值时，圆与抛物线有交点？（设，）
上述三题都围绕着求的值域这一核心题进行变化和延伸的，核心问题解决了，各个问题也就不攻自破了。
五、哪些题相似，但质不同？
有些数学问题具有一定的迷惑性，如果概念不清，见识不广，就容易混淆，错误地将不同问题混为一谈了。所以通过反思形相似，但质不同的题目，能够提高辨别能力，避免错解的发生，这是一种总结性的反思。
例5.对不等式，分别求满足下列条件的实数a的取值范围；
（1）不等式的解集为；
（2）不等式在上有解；
（3）不等式在上恒成立；
（4）不等式的解集是的子集。
分析：由
当时，无解，原不等式解集为空集；当时，原不等式解集为（0，）
则（1）必须且只须时，且，故；
（2）必须且只须，则时均适合，即；
（3）必须且只须，且且，则，即
；
（4）应有时，，此时或为空集（时），故
注：上述四个小题常容易混淆，通过反思各种解决方法的不同，弄清了四个不同的概念及相应的解题方案。
总之，解题后注重反思能培养良好的思维品质，既可促进“双基”的掌握，又能加强知识的有效迁移，是提高解题能力的重要途径。