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最优化多目标规划动态规划.pdf

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第五章多目标规划 在实际问题中，衡量一个设计方案的 好坏往往不止一个。例如：设计一个 导弹，既要射程远，命中率高，还要 耗燃料少；又如：选择新厂址，除了 要考虑运费、造价、燃料供应费等经 济指标外，还要考虑对环境的污染等 社会因素。这类问题即为多目标数学 规划问题。 第五章多目标规划 早在1772年，Franklin就提出了多目 标问题矛盾如何协调的问题，1896年， Pareto首次从数学角度提出了多目标 最优决策问题，直到二十世纪50-70年 代Charnes,Karlin,Zadeh等人先后做 了许多较有影响的工作，多目标规划 受到人们的关注。至今多目标规划已 广泛应用于经济、管理、系统工程等 科技的各个领域。 §1多目标规划问题举例 例1生产计划问题 某工厂计划生产两种产品甲和乙，生产每件 甲的利润为4元，生产每件乙的利润为3元， 每件甲的加工时间为每件乙的两倍，若全部 时间用来加工乙，则每日可生产乙500件，但 工厂每日供给的原料只够生产甲和乙的总数 共400件，产品甲是紧俏商品，预测市场日需 求量为300件。决策者希望制定一个日生产方 案，不仅能得到最大的利润，且能最大地满 足市场需求。 生产计划问题 [问题分析] 设每日生产甲、乙的数量分别为x1,x2,令X=(x1,x2), 则其目标函数为利润 f1(X)=4x1+3x2 甲的产量 f2(X)=x1 都取最大值 满足约束条件 x1+x2≤400（原料供应约束） 2x1+x2≤500（加工时间约束） x1≥0，x2≥0 多目标规划问题举例 例2投资问题 假设在一段时间内有a（亿元）的资金 可用于建厂投资，若可供选择的项目 记为1,2,…,m,而且一旦对第i个项目投 资，则必须用掉ai（亿元）;而在这段 时间内这第个项目可得到的收益为ci （亿元）,其中i=1,2,…,m,问如何确定 最佳的投资方案？ 投资问题 [问题分析] 上述要求的最佳方案应为：投资少，收益大。 1若决定对第i个项目投资 设xi 0若对第i个项目不投资 问题即求 m f1(x1,x2,...,xm)aixi i1 最小,而 m f2(x1,x2,...,xm)cixi i1 取最大,且要满足下列约束条件 m aixia i1  xi(xi1)0,i1,2,...,m 多目标规划的标准形式 T V-minF(X)=(f1(X),f2(X),…,fp(X)) s.t.gi(X)≤0,i=1,2,…,m T 其中X=(x1,x2,…,xn),p≥2 这里V-min是指对向量形式的p个目 T 标(f1(X),f2(X),…,fp(X))求最小。 一般假设多目标规划中的目标函数已 经是规范化了的。 §2多目标规划解的概念与性质 1.多目标规划解的概念 例2x0x1 3设f(x)2x4x,f(x) 122x31x2  R[0,2],求VminF(x) xR [解]分别对单个目标求出其最优解，对于第 一个目标的最优解x(1)=1;第二个目标的最优 解x(2)=1,为同一点，取x*=1作为多目标问题 的最优解，其目标函数值F*(x)=(-2,-1). 可以用变量空间和目标函数空间来分别描 述各种解的情况。 多目标规划解的概念 下面考察例1中生产计划问题。问：是否能找到 T 一个可行解X*=(x1*,x2*)使之同时为f1(X)与f2(X) 的最大解？ 在可行域内容易求解 maxf1(X)的唯一最优解为(100,300),见图中B点。 maxf2(X)的唯一最优解为(250,0),见图中C点。 由此可得共同的最优解X*并不存在。当一目标 达到最优时，另一目标达不到最优，两目标相互 矛盾。因此需要根据别的原则，权衡两者之间的 得失，从R中找出满意的方案来。 多目标规划解的概念 如何比较方案的好坏呢？ 就上述问题，设X∈R，Y∈R，称X比Y好 （或Y比X劣），若 f1(X)>f1(Y)f2(X)≥f2(Y) 或 f1(X)≥f1(Y)f2(X)>f2(Y) 不难得到除线段BC之外的其余R上的点均为 劣解，而BC上无劣解，且两两无法比较， 因此决策者只有根据某些别的考虑从BC上 挑选出满意的方案来。这时称BC上的点为 非劣解，或有效解。 多目标规划解的概念 对于一般的多目标规划问题： T (VP)V-minF(X)=(f1(X),f2(X),…,fp(X)) s.t.gi(X)≤0,i=1,2,…,m T 其中X=(x1,x2,…,xn),p≥2 设R={X|gi(X)≤0,i=1,2,…,m} 定义1设X*∈R，若对任意j=1,2,…,p,以及任意 X