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机器人避障问题
摘要
机器人避障问题主要是讨论机器人在一定的平面场景中活动，机器人的行走路径是由直线段和圆弧组成的条件下，如何从出发点到达目标点过程中避开障碍物的问题。
本文研究了机器人避障的最短路径和最短时间问题，主要研究了在一个区域内存在12个不同形状的障碍物，由出发点到达目标点避开障碍物的最短路径和最短时间两个问题。
首先，利用高等数学和平面几何知识证明了具有圆形限定区域的最短路径是由线圆结构组成的，并且机器人转弯时的圆弧是以障碍物的顶点为圆心，10个单位为半径的圆弧时，路径最短。
其次，对于途中需要多次转弯到达目标点的状况，适当扩大拐点处的转弯半径，使得机器人能够沿直线通过途中的目标点，从而减少转弯次数。
再次，我们针对问题一的四种路径给出了每种路径的所有可能的行走方案，然后运用绘图工具软件AUTOCAD进行图示和运算，得出最短路径如下
471.04853.91088.632755.63最后，在最短时间问题中，我们建立了所需时间关于转弯时圆弧的圆心坐标和半径的一般模型，然后通过前面的猜想，分析出了从的最短时间路径所经过的圆弧的圆心必然在正方形障碍5的对角线上，并且圆弧通过点，利用高等数学知识进行了化简最终得出了求最短时间的数学模型
，
然后运用MATLAB软件，通过编程计算出了最短时间为94.2283。

关键词：最短路径最优化模型最短时间CAD画图MATLAB
一、问题重述
在一个800×800的平面场景，在原点（0，0）点处有一个机器人，他只能在该平面场景内活动，图中12个不同形状的区域是机器人不能碰撞的障碍物，障碍物描述如下：
编号障碍物名称左下顶点坐标其它特性描述1正方形(300,400)边长2002圆形圆心坐标(550,450)，半径703平行四边形(360,240)底边长140，左上顶点坐标(400,330)4三角形(280,100)上顶点坐标(345,210)，右下顶点坐标(410,100)5正方形(80,60)边长1506三角形(60,300)上顶点坐标(150,435)，右下顶点坐标(235,300)7长方形(0,470)长220，宽608平行四边形(150,600)底边长90，左上顶点坐标(180,680)9长方形(370,680)长60，宽12010正方形(540,600)边长13011正方形(640,520)边长8012长方形(500,140)长300，宽60
在平面场景内，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。为此，须要确定机器人的最优行走路线-由直线段和圆弧段组成的光滑曲线，其中圆弧是机器人的转弯路径，机器人不能折线转弯，转弯路径是与直线相切的一段圆弧，也可以是两个或多个相切的圆弧组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。另外，为了不与障碍物发生碰撞，要求机器人行走路径与障碍物的最近距离为10个单位，否则发生碰撞，若发生碰撞，则机器人将发生侧翻，无法完成行走。
机器人直线行走的最大速度为个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为，其中是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧
翻，无法完成行走。
1场景图中有三个目标点(300,300)，(100,700)，(700,640)请用数学建模的方法给出机器人O(0,0)出发安全到达每个目标点和经过A,B到达C点的最短路线。
2机器人从(0,0)出发，到达A的最短时间路径。

问题分析
1、问题一中要求由定点（0,0）按照一定的行走规则绕过障碍物到达单一目标点的最短路径，我们可以先用线段和半径为10个单位的小圆画出机器人行走的危险区域，这样的话，拐角处就是一个半径为10的圆弧。在生活中我们有这样的常识，在空间中求两点（如,）间的最短路径，我们就可以连接和之间的一段绳子，以拐角处的圆弧为支撑,然后拉紧绳子，那么这段绳子的长度便是到的一条可能的最短路径，我们如今采用的就是这种办法。同理，我们用软件画出由点到目标点的每种路程最短的可能路径，然后比较其大小便可得出O到目标点的最短路径。
2、问题一的第二问中要求由定点（0，0）经过中间的若干目标点到达最终目标点，这使我们考虑就不仅仅是经过障碍物拐点的问题，也应该考虑经过路径中的目标点处转弯的问题，这时简单的线圆结构就不能解决这种问题，我们在拐点及途中目标点处都采用最小转弯半径的形式，也可以适当的变换拐点处的拐弯半径，使机器人能够沿直线通过途中的目标点，然后建立优化模型对这两种方案分别进行优化，最终求得最短路径。
3、问题二中存在一个极值问题，即圆心坐标和半径为多少时，通过的时间可以达到最小。这时我们想到，我们可以找寻隐藏的关系，把这个问题转化成一个求多元函数极值的问题。如果我们可以把表示成圆心坐标，半径的函数，并通过推导减少未知量的个数，那