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最小二乘法在实际中的应用

最小二乘法的代数原理及其求解方法

对于如下的线性方程组：

a11x1a12x2a13x3......a1ssxb10

a21x1a21x2a21x3......a2ssxb20

a31x1a32x2a33x3......a3ssxb30
.......................................

an1x1an2x2an3x3......ansxsbn0

我们不能找到它的解，但是我们可以找到这样的x1,x2,x3......xs使得下式：
n2
ai1x1ai2x2ai3x3......aisxsbi

i1

最小，这样的叫做方程组

的最小二乘解。
对于最小二乘解问题我们可以拟合出一条直线近似地代替原方程的解：
我们设直线的方程：

yaxb式中的a，b是待求量。
我们令：

1/10

aa...a
11121sb1
aa...a
21222sb2
AB
...............


an12an...ansbn

这样根据向量到子空间的距离最小的关系a,b满足如下的方程：

TTa
AAAB0
b
我们通过这样的方法可以计算出最小二乘直线，用于实际的计算中。在后面的内容我们用程
序对问题进行求解。

一．最小二乘法在实际中的应用

(一)用最小二乘法分析国民经济的增长趋势

1.问题背景

GDP是衡量国民经济发展的重要指标，我国近几年来国民经济高速

发展，通过最小二乘法我们可以大致做出估计出国内GDP的变化趋

势，通过GDP的发展我们可以大致分析近几年我国的经济发展趋势，

大致估计国内的经济发展趋势以及GDP的增长速率。

2.下面是我国的近十年的GDP数据：

表中单位：亿元

2012201120102009200820072006200520042003

2/10

78,894.078,579.078,388.077,510.077,046.076,531.076,315.076,120.075,290.074,911.0

3.问题求解

大致做出GDP随年份变化的曲线见下图所示：

横轴代表年份

纵轴代表GDP，单位：亿元

GDP随年份变化
79,500.00

79,000.00
78,894.00

78,500.0078,579.00
78,388.00

78,000.00

77,500.0077,510.00

77,000.0077,046.00

76,500.0076,531.00
76,315.00
76,120.00
76,000.00

75,500.00
75,290.00
75,000.00
74,911.00

74,500.00
200220032004200520062007200820092010201120122013

在图中做出最小二乘法的拟合曲线：

我们可以得到方程：y=450.36x–827147

作为问题的回归方程

3/10

79,500.00GDP随年份变化

79,000.0078,894.00
78,500.0078,579.00
y=450.36x-82714778,388.00
78,000.00
77,500.00R²=0.984177,510.00
77,000.0077,046.00
76,500.0076,531.00
76,315.00
76,000.0076,120.00
75,500.00
75,290.00
75,000.0074,911.00
74,500.00
200220032004200520062007200820092010201120122013

根据图中的数据我们大约知道近十年来我国每年的GDP增长量

大约为450.36亿元。

（二）用最小二乘法求解物理实验中的问题

1.问题举例—利用超声光栅测量液体中的声速

物理中我们经常需要测量比值定义的物理量。物理中当多次测量两个

线性相关的物理量，对这两个物理量我们一般采用最小二乘法的方法

进行计算，继而得到两个变量的相关关系，而这两个变量的比值通常

我们所要求的待测物理量。本实验中对不同的色光的位置进行记录，

用同一色光之间的位置差进行计算，可以得到声波的波长，进而计算

声速。

2.具体数据
测量顺序黄光位置/MM绿光的位置/MM紫光的位置/MM
11.1951.311.563
21.8611.9232.005
32.5152.5152.515
43.1653.113.005
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