高二数学数系的扩充与复数的引入苏教版.doc

高二数学数系的扩充与复数的引入苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：数系的扩充与复数的引入二.本周教学目标：1.回顾数系的扩充过程，体会数的概念是逐步发展的，了解引入复数的必要性。2.理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件。3.掌握复数代数形式的代数表示，能进行复数代数形式的四则运算。4.理解复数的几何意义，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。［知识要点］一.复数的定义1.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。说明（1）虚数单位：（1）它的平方等于－1，即；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。（2）与－1的关系：就是－1的一个平方根，即方程x2＝－1的一个根，方程x2＝－1的另一个根是－。（3）的周期性：4n＋1＝i，4n＋2＝－1，4n＋3＝－i，4n＝1。（4）复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式。（5）复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b＝0时，复数a＋bi（a、b∈R）是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数；当且仅当a＝b＝0时，z就是实数0。（6）复数集与其它数集之间的关系：NZQRC。（7）两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋dia＝c，b＝d。一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小。只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。二.复数的四则运算1.复数z1与z2的加法法则：z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i。复数的加法运算满足交换律：z1＋z2＝z2＋z1。复数的加法运算满足结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）。2.复数z1与z2的减法法则：z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i。3.乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i。其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。乘法运算律：（1）z1（z2z3）＝（z1z2）z3（2）z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3（3）z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z34.复数除法定义：满足（c＋di）（x＋yi）＝（a＋bi）的复数x＋yi（x，y∈R）叫复数a＋bi除以复数c＋di的商，记为：（a＋bi）（c＋di）或者三.复数的几何意义复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi（a、b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。这就是复数的一种几何意义。也是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。【典型例题】例1.实数m取什么数值时，复数z＝m＋1＋（m－1）i是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？分析：因为m∈R，所以m＋1，m－1都是实数，由复数z＝a＋bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值。解：（1）当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数；（2）当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；（3）当m＋1＝0，且m－1≠0时，即m＝－1时，复数z是纯虚数。例2.已知（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，其中x，y∈R，求x与y。解：根据复数相等的定义，得方程组，所以x＝，y＝4例3.计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）解：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i＝－11i。例4.计算：（1－2i）＋（－2＋3i）＋（3－4i）＋（－4＋5i）＋…＋（－2002＋2003i）＋（2003－2004i）解法一：原式＝（1－2＋3－4＋…－2002＋2003）＋（－2＋3－4＋5＋…[phone]）i＝（2003－1001）＋（1001－2004）i＝1002－1003i。解法二：∵（1－2i）＋（－2＋3