高一数学必修一总复习北师大版知识精讲.doc

用心爱心专心

高一数学必修一总复习北师大版
【本讲教育信息】
一、教学内容：
必修一总复习
［本讲的主要内容］
1、集合及其基本运算
2、函数的概念及其基本性质
3、二次函数与幂、指、对数函数
4、函数的应用

二、学习目标
1、了解集合语言是现代数学语言的重要组成部分，可以简洁、准确地表述数学对象和结构；学会运用集合等数学语言来刻画世界和运用数学语言学习数学、进行交流的能力；
2、加深对函数概念本质的认识和理解；加强对变量数学的认识，认识到函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；并能结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，了解指数函数、对数函数和幂函数是三类不同的函数增长模型；通过收集函数的应用实例，了解函数模型的广泛应用。

三、知识要点
1、集合的概念与基本运算
①一组对象的全体形成一个集合；常用大写拉丁字母来标记，如集合M，集合A……
②集合中的元素有三大特征，即无序性、确定性和互异性，这是判断集合形成和区分集合的重要依据；
③集合的表示：穷举法、描述法和图示法
④集合的运算：指的是子、交、并、补四种运算，其结果仍然是一个集合；

⑤以下题型的结果要用集合表述：求定义域、求值域、求不等式的解集、求方程（组）的解集以及集合运算的结果等。
2、函数的概念与基本性质
①函数概念的三种表述：运动的观念，集合的观念，映射的观念；
②函数的两大要素：定义域和对应法则；
③函数的三种表示方法：解析法，列表法和图像法；
④函数的两大重要性质：奇偶性和单调性；
⑤对分段函数、复合函数的认识。
3、二次函数与幂、指、对数函数
①二次函数学习中的几个要点：二次函数解析式的三种形式；二次函数的图像的开口方向、位置、零点及最值与系数的关系；含参数的二次函数的研究（参数分别在函数式中和定义区间中）；三个二次的关系；
②幂函数学习中的要点：幂函数的定义；幂函数的图像与性质；在同一坐标系中不同指数的幂函数的图像的位置关系；
③指数函数学习中的要点：指数式的运算；指数函数的定义；指数函数的图像与性质；在同一坐标系中不同底的指数函数图像的位置关系；
④对数函数学习中的要点：对数式的运算；对数函数的定义；对数函数的图像与性质；在同一坐标系中不同底的对数函数图像的位置关系；对数函数与指数函数互为反函数的关系。
4、函数的应用：函数的应用主要包括两种类型，其一是函数与方程思想在解题中的综合应用；其二是函数模型在解决实际问题中的应用，常见的有效益最大化和成本最低问题。

四、考点解析与典型例题
考点一对集合概念的考查
例1.试写出如图阴影部分所表示的集合

① ② ③
解：各阴影部分的表示方法均不唯一。
①[（A∩B）∩C∪C]∪[（A∩C）∩C∪B]∪[（B∩C）∩C∪A]
②[C∪（A∩B∩C）]∩（A∪B∪C）
③A∪（B∩C）

考点二对集合运算的考查
例2.试写出下列集合运算的结果

解：

考点三对函数概念的考查
例3.求形如的函数值域时，可以先将该函数式变形为一个关于x的一元二次方程，然后再令判别式即可求出该函数的值域。试说明为什么会有？
答：由于函数是建立在两个非空数集上的映射，故对由其变形得到的关于x的一元二次方程而言，其解集非空，故有。

考点四求函数的定义域
例4.求函数的定义域。
解：

故该函数的定义域为：。

考点五求函数的值域
例5.求函数的值域。
解：令
代入函数解析式可得：，故可求得其值域为

考点六对函数的两个重要性质的考查
例6.奇函数满足：；当，试解不等式
解：由奇函数的对称性：；

例7试判断函数的单调性。
解：设，则函数可视为这两个函数的复合函数，且知外函数是减函数。又因为：
故知：当x＜1时为增函数；当x≥1时为减函数。

考点七函数的作图
例8.如何由函数y＝f（x－1）－2的图像得到函数y＝f（x＋1）＋2的图像？
解：y＝f（x＋1）＋2可变形为（y－4）＝f[（x＋2）－1]－2，则知可将函数y＝f（x－1）－2的图像向左平移2个单位、再向上平移4个单位即可得到y＝f（x＋1）＋2的图像。

考点八含参的二次函数的研究
一般地，含参的二次函数有三种情形，其一是函数式中含参，其二是定义区间含参；这两种情形的基本做法都是将函数的对称轴与定义区间的位置关系进行讨论；其三是涉及含参的二次方程的根的分布问题，一般可结合图像研究。
例9.已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。
解：若m＝0，则，显然满足条件；若m≠0，有两种情形：
①原点的两侧各有一个交点，则

②都在原点的右侧，则：

例10.函数在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值记为g（t）。
（I）试写出g（t）的函数表达式；
（II）求出g（t）的最小值。
解：

（I