Newton迭代法浅析.doc

目录第一章：绪论2第二章Newton迭代原理32.1一般迭代思想的设计32.2Newton迭代法的原理32.3小结：5第三章Newton迭代法的收敛性63.1Newton迭代法中不收敛的情况63.2定理证明73.3Newton迭代法的收敛性分析103.4小结：12第四章两种改进的Newton迭代法134.1改进初值的Newton下山法[11]134.2一种新的Newton迭代法加速设计[13]144.3小结：15第五章Newton迭代法的应用165.1Newton迭代法的Matlab实现165.2数值举例165.3小结：19第六章：总论20参考文献21致谢22第一章：绪论在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解非线性方程（组）或者线性方程（组)代数方程组例如电学中的网络问题船体数学放样中建立三次样条函数问题用最小而乘求是实验数据的曲线拟合问题用差分或者有限元方法解常微分方程等。关于非线性方程（组）的求解一般有两类解法：直接法和迭代法。我们知道只有一次、二次和三次方程有规范的求根公式而高于三次的方程是不存在求根公式的。因此求根变得一异常的困难。而科学计算却很好解决了这一问题其中最基本的算迭代法了它对于解决非线性方程（组）的根变得异常方面。就迭代法而言Newton迭代法可算是其经典之作。Newton迭代法又称为Newton-Raphson迭代法它是Newton在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。牛顿迭代法是求非线性方程（组）根的重要方法之一其迭代格式简单且在单根附近具有平方收敛而且该法还可以用来求方程的重根、复根。关于Newton迭代法许多学者为之做了相当多的研究并且留下了很多经典的文献([2-6])。Newton迭代法在解决Banach空间中非线性方程或方程组的应用更为重要如梯形Newton迭代法。其中Ksntorovich[7]关于Newton迭代法收敛的工作是解决方程算法现代研究的起点并给出的Ksntorovich条件。Newton迭代法是一个重要的计算方法和思想。牛顿迭代法的主要功能：计算方程时可以比较快速方便的计算出来结果但并不影响计算出来结果的精确度运用于多种工业设计和数学设计方面其重要性可见一般。在我们开设的由李庆扬等编《数值分析》（第五版）中其第七章7.4节就专门对Newton迭代法进行了一定的讲解。但是其书上所讲内容甚微。这对于一个初学者来说算是一个障碍。因此本人想对Newton迭代法做一个系统的总结。本文主要从Newton迭代法的基本思想、收敛性、及几种Newton迭代法的变形作一个全方面的介绍。主要是想在总结前人的经典研究之上系统的对Newton迭代法作一下总结以便更加快速的学习和掌握Newton迭代法。第二章Newton迭代原理2.1一般迭代思想的设计迭代法作为最常用的近似方法对于求非线性方程（1.1.1）的近似根我们考虑将方程（1.1.1）转化为等价方程（2.1.1）其中称为迭代函数。显然若是方程（2.1.1）的根那么必为方程（1.1.1）的；反之已然。由方程（2.1.1）我们就可以建立迭代算法了。我们去起根的一个近似值为初始猜测值然后由（2.1.2）产生一个序列称之为迭代序列。我们假定在连续且若收敛与则必满足方程（1.1.1）即为方程（1.1.1）的根。我们也称方程（2.1.1）的根为函数的的不动点因此迭代算是（2.1.2）也称不动点迭代[9]。2.2Newton迭代法的原理我们从三个角度看Newton迭代法：2.2.1（1）设是方程的根取*将在做一阶Taylor展开:其中在之间于是解得用Newton迭代法（2.2.1）只要每一步迭代都有的根。迭代函数（2.2.1）即为Newton迭代格式。2.2.2（2）从几何上看方程（1.1.1）的根是曲线与轴的交点。设为根的一个近似值用过处的切线与轴的交点来近似（如图1）图2.1因为过点处的切线方程为它与轴的交点坐标即为2.2.3（3）对不动点方程（2.1.3）它导出的迭代过程有可能发散也可能收敛得非常缓