中考数学总复习（四）－函数（续）北京实验版知识精讲.doc

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中考数学总复习（四）－函数（续）北京实验版
【本讲教育信息】
一.教学内容：
中考总复习（四）——函数（续）

二.教学目标：
1.利用二次函数相关内容解决问题。
2.进一步巩固对二次函数的掌握。
3.会解决函数综合题

三.教学重点、难点：
重点：利用二次函数相关内容解决问题
难点：解答二次函数综合题

四.教学过程：
（一）知识框架：

【典型例题】
例1.二次函数的图象如图所示，

试确定abc，，，，，的值的符号。
分析：函数图象是函数的直观表示，图象法是表示函数的一种基本方法。图象的位置决定解析式中的系数，要学会观察函数图象，从观察函数图象中获取相关的信息，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
由图象的开口方向向上可知a的符号：。
由抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，可以确定解析式中的常数项。
由抛物线对称轴与y轴的相对位置：对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，
所以，。
从图象中可以看到对称轴在直线的左侧，∴。∵，
∴，∴。
由抛物线与x轴的相对位置：抛物线与x轴有两个交点，
可知。
当时，，抛物线与直线的交点（1，a＋b＋c）在第四象限，
可知；
当时，，抛物线与直线的交点（－1，a－b＋c）在第二象限，
可知，
说明：本例题通过“依形判数”主要体现二次函数中的数形结合思想，二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势。

例2.已知二次函数。
（1）把它配方成的形式。
（2）写出函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴。
（3）函数的图象可由抛物线向平移个单位长度得到。
（4）求出函数的图象与两坐标轴的交点坐标。
（5）抛物线在x轴上截得的线段长度是。
（6）画出此函数的图象，根据函数的图象回答：
①当x时，二次函数的函数值随x增大而增大；当x时，二次函数的函数值随x增大而减小；
②当x时，二次函数的值大于0；当x时，二次函数的值小于0；
③当x时，二次函数取得最值，这个最值为。
（7）求将二次函数的顶点平移到点（1，－4）后得到的函数图象的解析式。
（8）求将二次函数的图象沿直线折叠后得到的函数图象的解析式。
（9）求将二次函数的图象沿y轴翻折后得到的函数图象的解析式。
（10）求将二次函数的图象绕着顶点旋转180°后得到的函数图象的解析式。
（11）求抛物线与直线的交点坐标，并求出两交点之间的距离。
（12）判断抛物线与直线的位置关系。
（1）分析：主要考查将二次函数的一般式通过配方化为顶点式的形式，配方法是初中数学的重要的解决问题的方法，此题由于二次项系数是－1，配方时要先提取公因数－1后再根据二次项、一次项配上常数项。
解：

（2）解：由于二次项系数是－1，所以抛物线开口方向向下，顶点坐标为（－1，4），对称轴方程为（是顶点的横坐标）。
（3）分析：函数只有通过配方化为顶点式后才能看清与在结构上的差异。
解：函数的图象可由抛物线向左平移1个单位长度得到。
（4）分析：求抛物线与y轴的交点坐标时，根据y轴上点的坐标的特点，令求得，即解析式中的常数项3是抛物线与y轴的交点的纵坐标；求出函数的图象与两坐标轴的交点坐标是画函数图象的关键，求抛物线与x轴的交点坐标时，令，得到方程，此方程的两个根是抛物线与x轴的交点的横坐标。
解：抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），抛物线与x轴的交点坐标A（－3，0），B（1，0）。
（5）解：由于抛物线与x轴的交点坐标A（－3，0），B（1，0），所以抛物线在x轴上截得的线段长度是A（－3，0）、B（1，0）两点间的距离。
（6）分析：画此函数的图象要找到五个点：顶点、与y轴的交点、与x轴的两个交点及与y轴的交点关于对称轴的对称点。
由二次函数图象的走向可以确定函数的增减性（以对称轴为界），在对称轴的右侧，图象左高右低可知y随x增大而减小；在对称轴的左侧，图象左低右高可知y随x增大而增大。
由一元二次方程的两个根分别为－3、1可知，抛物线与x轴有两个交点A（－3，0）、（1，0），在交点A（－3，0）的左侧和交点B（1，0）的右侧，图象位于x轴的下方，所以当或时，二次函数值小于0；在交点A（－3，0）的右侧和交点B（1，0）的左侧，图象位于x轴的上方，所以当时，二次函数值大于0。
由于抛物线开口向下，抛物线的顶点为最高点，这点的函数值最大。
解：①当时，二次函数的函数值随x增大而增大；当时，二次函数的函数值随x增大而减小。
②当时，二次函数的值大于0；当或时，二次函数的值小于0。
③当时，二次函数取得最大值，这个最大值为4。
（7）分析：将二次函数配方后得，它的顶点坐标为（－1，4），点（－1，4）与（1，－4）关于原点对称，由于平移只改变图形的位置而不改变形状及大小，所以将抛物线的顶点平移到点（1，－4）后