中考数学总复习（八）——圆北京实验版知识精讲.doc

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中考数学总复习（八）——圆北京实验版
【本讲教育信息】
一.教学内容：
中考总复习（八）——圆

二.教学过程：
1.复习圆的相关概念、基本性质、与圆有关的位置关系、正多边形和圆、与圆有关的计算。
2.综合应用直线形和圆解决简单几何综合题。
3.在解题过程中提高分析问题和解决问题的能力。

三.教学重点
重点：复习应用本章的基本内容。
难点：综合应用及解题能力的提高。

四.教学过程：
（一）知识点
1.圆的有关概念。
弦、直径、弦心距、弧、圆心角、圆周角。
2.主要性质。
（1）圆的对称性。
圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆的旋转不变性使它具有其他中心对称图形所没有的性质。
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理及推论可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：
①过圆心O；
②垂直于弦；
③平分弦（不是直径）；
④平分弦所对的优弧；
⑤平分弦所对的劣弧。
（3）弧、弦、圆心角之间的相等关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
（4）圆周角。
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论2：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3.点和圆的位置关系
设圆O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，那么
点P在圆上；
点P在圆内；
点P在圆外。
4.圆的确定
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
三角形的外接圆，三角形的外心。
5.直线和圆的位置关系
设圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
直线l和圆O相交；
直线l和圆O相切；
直线l和圆O相离。
6.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
7.切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径。
8.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
9.三角形的内切圆
（1）三角形的内切圆，三角形的内心；
（2）三角形的内切圆的作图。
10.圆和圆的位置关系
如果两圆半径分别为r1和r2，圆心距为d，那么
两圆外离；
两圆外切；
两圆相交；
两圆内切；
两圆内含。
11.正多边形
12.正多边形的有关计算
正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
如图所示，设正n边形的中心角为α，半径为R，边长为an，边心距为rn，周长为Pn，面积为Sn，则由有关图形的性质可以推得：

（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
13.与圆有关的计算
（1）圆的周长：；
（2）弧长：l；
（3）圆的面积：；
（4）扇形面积：
（5）弓形面积：扇形面积等腰三角形的面积。
14.圆锥的侧面展开图的面积与全面积的计算
15.主要的辅助线。
（1）过圆心作弦的垂线（如图（1）所示）；
（2）连半径（如图（2）所示）；
（3）连接圆上有关的点，构成直径所对的圆周角（如图（3）所示）；
（4）连接圆上的点，构成圆周角（如图（4）所示）。

（5）遇到有切线时，一般要引过切点的半径（如图（1）所示）
（6）判定直线为圆的切线时①如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；②如果已知直线与圆是否有公共点在条件中没有给出，那么作垂直，证半径；
（7）遇到过圆外一点作圆的两条切线时，常常引这点到圆心的连线及过切点的半径（如图（2）所示）；
（8）两圆相切时，一般引连心线（如图（3）、（4）所示）
（9）两圆相交时，一般引公共弦与连心线（如图（5）所示）；

【典型例题】
例1.如图所示，OC为圆O的半径，M是OC的中点，弦AB⊥OC于M，如果OC=4，求AB的长。

分析：由于这是弦与半径互相垂直的计算问题，可联想到垂径定理的运用。连半径可以出现直角三角形，运用勾股定理即可求得弦AB的长。
解法1：（利用垂径定理和勾股定理）
连接OA，∵OC⊥AB于M，M为OC的中点，且OC=4
∴
在Rt△AOM中
由勾股定理，得
∴
解法2：（利用垂径定理和锐角三角函数）
连接OA，∵OC⊥AB于M，M为OC的中点，且OC=4

在Rt△AOM中，∵
∴∠A=30°
∴AM=OA·cos30°=
∴
说明：在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理、勾股定理或锐角三角函数等知识，经常添