大连理工矩阵与数值分析上机作业.doc

Matrixandnumericalanalysis

矩阵与数值分析
（上机作业）

Matrixandnumericalanalysis

学院（系）：~~~~~~~~~~

学生姓名：~~

指导老师：~~~

学号：~~~~~~~~~

完成日期：2012.11.24

大连理工大学
DalianUniversityofTechnology

1.给定n阶方程组，其中
，
则方程组有解。对和，分别用Gauss消去法和列主元消去法解方程组，并比较计算结果。

1）程序代码：
输入A，b
function[X,A,b,ep]=gauss(A,b)
n=length(A);
%选主元
fork=1:n-1
[~,p]=max(abs(A(k:n,k)));
p=p+k-1;
ifp>k
y=A(k,:);A(k,:)=A(p,:);A(p,:)=y;
y2=b(k);b(k)=b(p);b(p)=y2;
end
ifabs(A(k,k))<1e-10
disp('高斯消去法求解失效')
break
end
fori=k+1:n
m=A(i,k)/A(k,k);
A(i,k:n)=A(i,k:n)-m.*A(k,k:n);
b(i)=b(i)-m*b(k);
end
end
%求解X
X(n)=b(n)/A(n,n);
fork=n-1:-1:1
X(k)=(b(k)-sum(A(k,k+1:n).*X(k+1:n)))/A(k,k);
end
end
输入数组，A，b
调用函数[X,a,c,ep]=gauss(A,b);
2）结果分析：
n=10，两种方法运行结果均近似为x=[1,1,…,1];
n=84，选主元的gauss消去法运算后的右下角元素变得很小，约为10^-24,矩阵变得开始病态。最大误差为2.80*10^-6
不选主元，求解的最大误差为5.37*10^8,可见求解结果误差极大。

2.设有方程组，其中，

(a)选取不同的初始向量和不同的右端向量，给定迭代误差要求，用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法计算，观测得出的迭代向量序列是否收敛。若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。
(b)选定初始向量初始向量和不同的右端向量，如取。将的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角元素不变，每次用Jacobi法计算，要求迭代误差满足，比较收敛速度，分析现象并得出你的结论。
1）程序代码：
function[X,k,t]=e2(A,b,ep,X0)
U=-triu(A,1);
L=-tril(A,-1);
D=diag(diag(A,0));
B=D^-1*(L+U);
f=D^-1*b;
%B=(D-L)^-1*U;
%f=(D-L)^-1*b;
k=0;
t=1;
whilet>ep
X=B*X0+f;
t=max(abs(X-X0));
X0=X;
k=k+1;
ifk>1000
disp('不收敛')
break
end
end

end

2）结果分析：
情况一：对于b=（1,1,…,1），X0=(0,0,…，0);Jacobi迭代收敛，迭代次数20；G-S收敛，迭代次数13；X0=（1，2，3，…，10），Jacobi迭代收敛，迭代次数23；G-S收敛，迭代次数16
情况二：对于b=（1，2，…，10），X0=(0,0,…，0)；Jacobi迭代收敛，迭代次数23；G-S收敛，迭代次数16；X0=（1，2，3，…，10），Jacobi迭代收敛，迭代次数22；G-S收敛，迭代次数15
在这两种情况下，两种方法均收敛，且G-S收敛速度较快

3.用迭代法求方程的全部根，要求误差限为。
1）程序代码：
二分法：
clear
t=1;
ep=0.5*10^-8;
%求根区间
a=-10000;b=10000;
m=0;p=3;c(10000)=0;cc(10000)=0;c(1)=a;c(2)=b;c(3)=(a+b)/2;d(6)=0;
whilem<3
m=0;
fori=1:p-1
cc(2*i-1)=c(i);
cc(2*i)=(c(i)+c(i+1))/2;
end
cc(2*i+1)=c(p);
c=cc;
p=2*p-1;
fori=1:p-1
if(f(c(i))*f(c(i+1))<0)
m=m+1;
d(2*m-1:2*m)=[c(i),c(i+1)];
end
end
t=t+1;
ift>1e3
disp('error')
break
end
end
%求根
fori=1:3
a=d(2*i-1);b=d(2*i);
z=(a+b)/2;
whileabs(a-b)>2*ep
iff(z)*f(a)<0
b=z;
else
a=z;
end
z=(a