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中考数学压轴题特点分析及复习策略

中考数学压轴题特点分析及复习策略

咸丰县民族中学秦代维

中考数学压轴题考查的知识点较多，综合性较强，覆盖⾯⼴，关系复杂，思路开阔，解法灵活，是中考的夺分难题。这类题⼀
般综合多个知识点，是融代数、⼏何于⼀体的综合试题，⼀般称为“代数⼏何综合题”，代数和⼏何知识之间互相转换是必然
的。

因此，中考压轴题所考察的并⾮孤⽴的知识点，也并⾮个别的思想⽅法，它是对考⽣综合能⼒的⼀个全⾯考察，所涉及的知识
⾯⼴，所使⽤的数学思想⽅法也较全⾯。

学⽣往往因为考⽣解题经验不⾜或对学过的基础知识、基本⽅法不能灵活运⽤，拿到题⽬后感到⽆从下⼿，⼏经冲击，不是⾃
动放弃，就是因时间所限，抱着“耿耿于怀”的⼼情半途⽽终，考⽣容易知难⽽退。因此，为提⾼学⽣压轴题的得分率，也要对
学⽣解答压轴题⽅法策略上进⾏必要的指导。

⼀、特点分析：

1、命题设想：“起点低，坡度缓，尾巴翘”。

本题往往由三到四个⼩题组成，第⼀⼩题为基础题、⽐较简单，第⼆⼩题中上，第三⼩题最难。第(1)题容易上⼿，得分率往
往在0.8以上；第(2)题稍难，⼀般还是属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间，第(3)题最难，能⼒要求较⾼，但得分率也⼤多
在0.2与0.4之间。

2、试题特征：“覆盖⼴，⽅法多，思维活”。

在初中主⼲知识的交汇处命题，涉及的知识点多，覆盖⾯⼴；条件隐蔽，关系复杂，思路开阔，⽅法灵活，渗透了重要的思想
⽅法，体现了较⾼的思维能⼒。最主要的原因是学⽣在解题过程中出现了思维困惑后，不能抓住问题的本质特征去寻找合理的
突破⼝，压轴题对思维能⼒的考查要求很⾼。

3、试题背景：“以函数及图像为切⼊点，以建⽴⽅程（组）为突破⼝，以分类和变换构建难点”。

所有的压轴题都是存在于动态背景，具体可分为：

（1）点的运动：涉及到⼀个点或两个点同时运动

（2）平移：直线平移，抛物线的平移，图形的平移

（3）旋转、轴对称

（4）图形的折叠

（5）全等或者相似的对应点变换

（6）⾯积⽐的转换

4、数学思想：“以数形结合为思维出发点，以⽅程（组）建模为⼿段，以分类和转化完美解答”。

从数学思想的层⾯上讲，试题⼀般包含：（1）运动观点；（2）⽅程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化
思想等

⼆、试题举例：

我州数学中考压轴题从2010年开始基本上与外地中考压轴题接轨，都是以纯⼆次函数为起点出题。其中三个系数已知⼀个，
⼀般都知道值，这样可以降低了难度，第（1）问根据条件建⽴⼆

元⼀次⽅程组可解决问题。后⾯两问变化情况多就不过多分析。下⾯就选择⼏个压轴题举例说明.

例1、（2012?株洲）如图，⼀次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第⼀象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最⼤值？最⼤值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平⾏四边形，求第四个顶点D的坐标．

思路分析：

（1）⾸先求得A、B点的坐标，然后利⽤待定系数法建⽅程组求抛物线的解析式；

（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的⼆次函数，利⽤⼆次函数的极值求线段MN的最⼤值；

（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所⽰，不要遗漏．其D2在y轴上，利⽤线段数量关系容易求得坐
标；D3点在第⼀象限，是直中D

1、

和D2M的交点，利⽤直线解析式求得交点坐标．

线D

1N

例2：（2012?凉⼭州）如图，在平⾯直⾓坐标系中，直线y=x+4与x轴、y

轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另⼀点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上⼀动
点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）若点P在第⼆象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？

（3）如果平⾏于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得
△MON是等腰三⾓形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
思路分析：

（1）⾸先求得A、B点的坐标，然后利⽤待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另⼀交点C的坐标；

（2）关键是求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表⽰为关于t的⼆次函数，利⽤⼆次函数求极值的⽅法
求出PE长度的最⼤值；

（3）根据等腰三⾓形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为⼀元⼆次⽅程问题，通过⼀元⼆次⽅程的判别式可知直
线l是否存在，并求出相应Q点的坐标．注意“△MO