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一类整群环的SK1群及其K2群的下界的估计
引言：
在群论中，SK1（也称为Sylow-Kurosh群）是一种群的子群，它满足一些非常重要的性质，这使得它在代数学中具有广泛的应用。具体而言，SK1群和K2群是两类特殊的群，它们在研究一些代数结构（如环、群、代数拓扑等）的时候非常有用。本文将介绍SK1群和K2群，以及它们在代数学中的应用。
一、SK1群
Sylow-Kurosh群，简称SK1群，是一个群的子群。一个群G的SK1群是指G的所有Sylow子群的交，记作SK1(G)。SK1群有以下重要性质：
1、SK1(G)是一个正规子群。
2、SK1(G)是最大的极大孤正规子群。
3、SK1(G)是由所有极大群正规子群的交构成的。
4、SK1(G)对于一个p-Sylow子群P而言是不变的，即SK1(G)=SK1(P)。
SK1群的重要性质在证明重要定理时有广泛的应用，例如：
1、Gaschütz定理：如果G是一个p-群，那么每个具有G作为自同构群的p-群是同构于G。
2、Burnside定理：如果p和q是不同的质数，那么一个pq-群是可解群。此外，如果p不等于q，那么1和pq是唯一的pq-群，也是pq-群的SK1群。
3、Tate定理：对于任意一个有限生成交换群G，存在一个正整数n使得G是有限群Z^n的商群。
4、Feit-Thompson定理：每一个奇数阶有限群都是可解的。
二、K2群
K2群指的是一个环的二阶K群，它是一个代数拓扑中的概念。对于一个环R，我们可以给它加上一个群结构，使得R中的每个非零元素都有一个逆元，使得R关于加法成为一个Abel群。这个群称为R的乘法群，记作R^×。环R的K2群被定义为R^×的二阶导出子群。
K2群在代数拓扑领域的应用最为广泛。例如，它在Frobenius代数的构造中起到了很重要的作用。此外，K2群还与代数K理论和同调代数等重要的领域紧密相关。K2群的研究也有很多重要的结果，例如：
1、Merkurjev-Suslin定理：对于一个域k，它的K2群是一个拟凸系统的，这意味着存在一个k-矢量空间V，使得K2(k)可以用V的子矢量空间来表示。
2、Quillen正合性定理：对于一个环R，如果R是一个正则局部环，则它的代数K理论是正合的。
结论：
SK1群和K2群是代数学中的两个基本构造，它们在解决一些重要的问题上非常有用。SK1群是一个群的子群，它拥有许多重要的性质，如正规性、极大群正规子群的交等，可以用来证明一些经典定理。另一方面，K2群是一个环的乘法群的二阶导出子群，在代数拓扑和同调代数等领域有广泛的应用。学习和理解SK1群和K2群的性质和应用是非常重要的，可以帮助我们更好地理解代数学中的一些重要结论。