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数学模型实验—实验报告10

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学号：_______实验时间：______实验地点：

一、实验项目：传染病模型求解

二、实验目的和要求
a.求解微分方程的解析解
b.求解微分方程的数值解
三、实验内容
问题的描述
各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。
不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。
模型一（SI模型）：

（1）模型假设
1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，人群分为健康人和病人，时刻t这两类人在总人数中所占比例为s（t）和i（t）。
2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数a，a成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。
（2）建立模型
根据假设，每个病人每天可使as（t）个健康人变成病人，t时刻病人数为Ni（t），所以每天共有aNs（t）i（t）个健康者被感染，即病人的增加率为：Ndi/dt=aNsi
又因为s（t）+i（t）=1
再记时刻t=0时病人的比例为i0
则建立好的模型为：

i(0)=i0
（3）模型求解（代码、计算结果或输出结果）
symsaiti0%a：日接触率，i：病人比例，s：健康人比例，i0：病人比例在t=0时的值
i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t');
y=subs(i,{a,i0},{0.3,0.02});
ezplot(y,[0,100])
figure
i=str2double(i);
i=0:0.01:1;
y=0.3*i.*(1-i);
plot(i,y)

SI模型的i~t曲线SI模型的di/dt~i曲线
（4）结果分析
由上图可知，在i=0:1内，di/dt总是增大的，且在i=0.5时，取到最大值，即在t->inf时，所有人都将患病。
上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假设，建立SIS模型
模型二（SIS模型）
模型假设
假设条件1.2与SI模型相同；
3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数u，成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/u是平均传染期。
（2）模型建立
病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi且i（t）+s(t)=1；
则有：di/dt=ai(1-i)-ui
在此定义k=a/b，可知k是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数，成为接触数。
则建立好的模型为：

i(0)=i0;
模型求解（代码、计算结果或输出结果）

>>symsaiuti0%a：日接触率，i：病人比例，u：日治愈率，i0：病人比例在t=0时的值
>>dsolve('Di=a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t')%求用u表示的i—t解析式
>>symsk%k：接触数
>>k=a/u;
>>i=dsolve('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)','i(0)=i0','t')%求用k表示的i—t解析式
%给k、a、i0指定特殊值，作出相关图像
>>y=subs(i,{k,a,i0},{2,0.3,0.02});%①k>1的情况，以k=2为例
>>ezplot(y,[0,100])
>>pause%作i—t图，分析随时间t的增加,i的变化
>>gtext('1/k')
>>legend('k>1本例中k=2')
>>figure
>>i=str2double(i);
>>i=0:0.01:1;
>>y=-0.3*i.*[i-1/2];
>>plot(i,y)%作di/dt—i的图像
>>gtext('1-1/k,在此图中为0.5')
>>legend('k=2')

>>y=subs(i,{k,a,i0},{0.8,0.3,0.02});%②k<1的情况，以k=0.8为例
>>ezplot(y,[0,100])%作i—t图，分析随时间t增加，i的变化
>>legend('k<1本例中k=0.8')
>>figure
>>i=str2double(i);
>>i=0:0.01:1;
>>y=-0.3*i.*[i-(1-1/0.8)];
>>plot(i,y)%作di/dt—i的图像
>>legend('k=0.8')
>>gtext('k<=1时的情况)

SIS模型的di/dt—i曲线（k>1）SIS模型的i—t曲线（k>1）

SIS模型的di/dt—i曲线（k<1）SIS模型的i—t曲线（k<1）
（4）结果分析
不难看出，接触数k=1是一个阈值，当k>1时，i（t）的增减性取决于i0的大小