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SI.SIR.SIS模型
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SI.SIR.SIS模型

数学模型实验—实验报告10

学院：专业:姓名：
学号：_______实验时间:______实验地点:

一、实验项目：传染病模型求解

二、实验目的和要求
a。求解微分方程的解析解
b。求解微分方程的数值解
三、实验内容
问题的描述
各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程,分析受感染人数的变化规律,探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。
不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。分别对3种建立成功的模型进行模型分析,便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况.
模型一(SI模型）：

（1）模型假设
1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,人群分为健康人和病人，时刻t这两类人在总人数中所占比例为s（t）和i（t）。
2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数a，a成为日接触率,当病人与健康者有效接触时，可使其患病.
（2）建立模型
根据假设，每个病人每天可使as（t）个健康人变成病人，t时刻病人数为Ni(t)，所以每天共有aNs（t）i(t）个健康者被感染，即病人的增加率为:Ndi/dt=aNsi
又因为s（t）+i(t）=1
再记时刻t=0时病人的比例为i0
则建立好的模型为：

i（0)=i0
(3)模型求解（代码、计算结果或输出结果）
symsaiti0%a:日接触率，i：病人比例，s:健康人比例，i0:病人比例在t=0时的值
i=dsolve（'Di=a＊i＊(1-i）’,'i（0）=i0'，'t'）；
y=subs(i,｛a,i0｝,｛0。3,0。02})；
ezplot（y,[0，100])
figure
i=str2double（i);
i=0：0。01:1;
y=0.3*i.＊（1-i）;
plot（i，y）

SI模型的i～t曲线SI模型的di/dt～i曲线
（4)结果分析
由上图可知，在i=0：1内，di/dt总是增大的，且在i=0.5时,取到最大值，即在t-〉inf时，所有人都将患病.
上述模型显然不符合实际,为修正上述结果,我们重新考虑模型假设，建立SIS模型
模型二(SIS模型)
模型假设
假设条件1.2与SI模型相同；
3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数u，成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/u是平均传染期。
（2)模型建立
病人的增加率：Ndi/dt=aNsi—uNi且i（t）+s(t）=1;
则有：di/dt=ai（1—i)-ui
在此定义k=a/b，可知k是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数，成为接触数。
则建立好的模型为：

i(0）=i0；
模型求解(代码、计算结果或输出结果）

〉>symsaiuti0%a:日接触率，i：病人比例，u：日治愈率,i0：病人比例在t=0时的值
>>dsolve(’Di=a＊i*(1-i)-u＊i’,'i（0)=i0'，’t'）％求用u表示的i—t解析式
〉〉symsk％k：接触数
>>k=a/u;
〉>i=dsolve（’Di=—a*i*i+a*i＊(1-1/k）’，’i(0）=i0'，’t'）％求用k表示的i—t解析式
％给k、a、i0指定特殊值，作出相关图像
>〉y=subs（i,{k,a，i0｝，｛2,0。3，0。02});%①k〉1的情况，以k=2为例
〉>ezplot(y,[0,100])
>〉pause％作i-t图，分析随时间t的增加，i的变化
>〉gtext(’1/k’)
>〉legend（’k〉1本例中k=2')
〉>figure
〉〉i=str2double（i)；
〉>i=0：0.01:1;
〉>y=-0.3＊i.＊[i—1/2］；
〉>plot（i，y)%作di/dt—i的图像
〉〉gtext('1-1/k,在此图中为0。5’）
>>legend（’k=2’）

〉>y=subs(i,{k,a,i0｝,｛0。8,0.3,0。02｝);％②k〈1的情况,以k=0.8为例
>〉ezplot(y，[0,100］)％作i—t图，分析随时间t增加,i的变化
〉〉legend('k<1本例中k=0。8’)
>>figure
〉〉i=str2double（i);
>〉i=0：0.01:1;
〉〉y=—0。3＊i.*［i—（1—1/0。8）］；
〉>plot（i，y)%作di/dt—i的图像
〉>legend（’k=0.8’）
〉>gtext（'k<=1时的情况）

SIS模型的di/dt—i曲线（k〉1）SIS模型的i-t曲线（k〉1）

SIS模型的di/dt—i曲线(k〈1）SIS模型