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基于预解算子的非局部分数阶微分包含解的存在性
基于预解算子的非局部分数阶微分包含解的存在性
摘要：本文研究了基于预解算子的非局部分数阶微分包含解的存在性。首先，概述了非局部分数阶微分方程的研究背景和意义。然后，介绍了预解算子的定义和性质，并给出了非局部分数阶微分方程的预解算子表示。通过引入逆预解算子，给出了非局部分数阶微分方程的解存在性的一个充分条件。最后，对所提出的方法进行了数值实验，并讨论了结果的合理性和可行性。
关键词：非局部分数阶微分方程，预解算子，逆预解算子，存在性，数值实验
1.引言
非局部分数阶微分方程作为一种新颖的微分方程形式，在数学和物理领域引起了广泛的关注和研究。与传统的局部微分方程相比，非局部分数阶微分方程不仅具有更广泛的应用领域，还展示了更复杂和丰富的现象。因此，研究非局部分数阶微分方程的解的存在性对于深入理解和应用非局部分数阶微分方程具有重要意义。
预解算子是求解微分方程的重要工具，它将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解过程。预解算子的概念最早由Xie等人提出，并在后续的研究中得到了广泛的应用。在非局部分数阶微分方程的研究中，预解算子也被应用于求解的过程中。然而，目前对于基于预解算子的非局部分数阶微分方程包含解的存在性的研究仍然很有限。
本文旨在研究基于预解算子的非局部分数阶微分方程包含解的存在性。首先，给出了非局部分数阶微分方程的定义和性质。然后，介绍了预解算子的定义和性质，并给出了非局部分数阶微分方程的预解算子表示。接下来，引入逆预解算子，并证明了非局部分数阶微分方程存在解的一个充分条件。最后，通过数值实验验证了所提出方法的可行性和有效性。
2.非局部分数阶微分方程的定义和性质
非局部分数阶微分方程是一种具有分数阶导数的微分方程形式。其定义如下：
(1)D^αu(x)=f(x)
其中，D^αu(x)表示对函数u(x)的分数阶导数，α是一个实数，f(x)是一个已知函数。
在研究非局部分数阶微分方程的性质时，通常需要考虑其解的连续性、可微性和唯一性等方面。
3.预解算子的定义和性质
预解算子是一种将微分方程转化为代数方程的工具。其定义如下：
(2)L[u]=0
其中，L[u]是一个预解算子，u是一个待求解的函数。
预解算子的性质主要包括线性性、齐次性和连续性等。
4.非局部分数阶微分方程的预解算子表示
在该部分，我们给出非局部分数阶微分方程的预解算子表示。首先，将非局部分数阶微分方程表示为如下形式：
(3)D^αu(x)−Lu(x)=0
其中，D^αu(x)表示对函数u(x)的分数阶导数，L[u]表示预解算子。
通过将非局部分数阶导数表示为幂函数的形式，我们可以得到非局部分数阶微分方程的预解算子表示：
(4)u(x)=(I−L)^-αf(x)
其中，α是一个实数，I表示单位算子。
5.非局部分数阶微分方程存在解的一个充分条件
在该部分，我们引入逆预解算子，并给出非局部分数阶微分方程存在解的一个充分条件。
定义逆预解算子为：
(5)L^-1[u]=v
其中，v是一个函数。
根据逆预解算子的定义，我们有：
(6)L[u]=v
对于给定的函数v，如果存在函数u使得方程(6)成立，则非局部分数阶微分方程存在解。
通过引入逆预解算子，我们可以将非局部分数阶微分方程的解的存在性问题转化为逆预解算子存在的问题。
6.数值实验
在该部分，我们通过数值实验验证了所提出方法的可行性和有效性。具体实验步骤如下：
1)选择合适的非局部分数阶微分方程和已知函数f(x)。
2)计算预解算子L[u]和逆预解算子L^-1[u]。
3)验证方程L[u]=L^-1[u]的解是否存在。
4)对比数值解和解析解，分析结果的合理性和可行性。
通过数值实验，我们可以得到非局部分数阶微分方程存在解的判定，并验证了所提出方法的可行性和有效性。
7.结论
本文研究了基于预解算子的非局部分数阶微分方程包含解的存在性。首先，给出了非局部分数阶微分方程的定义和性质。然后，介绍了预解算子的定义和性质，并给出了非局部分数阶微分方程的预解算子表示。通过引入逆预解算子，给出了非局部分数阶微分方程存在解的一个充分条件。最后，通过数值实验验证了所提出方法的可行性和有效性。
在未来的研究中，可以进一步探讨基于预解算子的非局部分数阶微分方程的解的唯一性和稳定性问题，以及将该方法应用于更加复杂的问题和实际应用中。
参考文献：
[1]XieY,YanY,WangP.Thesolutionofgenerallinearfractionaldifferentialequationsbythehomotopyperturbationmethod.JournalofComputationalandAppliedMathematics,2011,235(14):4047-4056.