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初中几何最值问题

例题精讲

一、三点共线
1、构造三角形

【例1】在锐角ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△ABC．点
11
E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的
对应点是点P，求线段EP长度的最大值与最小值．
11
C
1

PA
1

PE
A
1
BC

【稳固】以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠

DCO=30°．如图，假设BO=33，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，
在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

A

OP
O
B
NN

CDCD

备用图

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【例2】如图，MON90°，矩形ABCD的顶点A．B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A
随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点
O的最大距离为__________

【稳固】：△AOB中，ABOB2，△COD中，CDOC3,∠ABO∠DCO.连接AD、BC，
点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.假设A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO2，
固定△AOB，将△COD绕点O旋转，那么PM的最大值为____________

BA
M

O

NP
D

C

【稳固】在平面直角坐标系xOy中，点A、Bxy轴的正半轴上，点M为线段AB的中点．点
分别在轴、
D、Exy轴的负半轴上，且DEAB10．以DE为边在第三象限内作正方形
分别在轴、
DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式．
y

B
M

DOAxG

E
F

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11
【例3】如图，B(2,y)y图像上的两点，动点P(x,0)x
A(,y)，为反比例函数在正半轴上运
12x
2
动，当线段AP与线段BP之差到达最大时，点P的坐标是_________

y

A

B

x
OP

2、轴对称
22
【例1】求
x34x1的最小值

【例2】ABCD是半径为5的O的两条弦，AB8，CD6，MN为直径，ABMN于点
E,CDMN于点F，P为EF上任意一点，那么PA+PC的最小值为_________

A
C

MNEOPF

D
B

【稳固】设半径为1的半圆的圆心为O，直径为AB,C、D是半圆上两点，假设弧AC的度数为96°，弧BD
的度数为36°，动点P在直径AB上，那么CP+PD的最小值是_______

【稳固】设正三角形ABC的边长是2，M是AB边上的中点，P是边BC上任意一点，那么PA+PM的最
大值为_______,最小值为________

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【例3】如图，等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点〔均不与点A、B、C重
合〕，记△DEF的周长为p.假设D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，那么p的取值X围是.

A

DF

E
BC

2
【例4】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝—x＋2x＋3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，
点D是抛物线的顶点．

〔1〕求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；

〔2〕请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．

图1

3
【例5】如图，直线
yx2分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A顺时针旋转45°得到射
3
线AN，D为AM上的动点，B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．

〔1〕当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；

〔2〕求△BCD周长的最小值；

52
〔3〕当△BCD的周长取得最小值，且BD时，求△BCD的面积．
3

yyy
2A2A2A
D
1M11

123C4O123C4O123C4
Oxxx
B

N
备用图备用图

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【例6】在直角坐标系中，A1,2，B4,1，Cm,0，Dn,n为四边形的4个顶点，当四边形

m
ABCD的周长最短时，_________
n

y

DO
Cx
B
A

【稳固】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕的顶点为C〔1，4〕，交x轴于A、B两点，交y轴于点D，
其中点B的坐标为〔3，0〕。

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，假设直线
PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，那么x轴上师X存在一点H，使D、G、H、F
四点所围