基于Kriging模型的频响函数有限元模型修正方法.docx

基于Kriging模型的频响函数有限元模型修正方法
摘要：
本文介绍了一种基于Kriging模型的频响函数有限元模型修正方法。首先，使用有限元方法建立结构的初始模型，并通过试验测量得到频响函数。接着，建立Kriging模型将试验数据与有限元模型关联，通过Kriging模型修正有限元模型，得到更为准确的模型。最后，通过对比修正前后的模型频响函数和模态参数，验证修正的效果。
关键词：Kriging模型；频响函数；有限元模型；模型修正
1.引言
在工程实践中，结构的频响函数是非常重要的参数。通过测量结构在不同频率下的响应，可以得到结构的频响函数，进而分析结构的动态特性，如自然频率、振型等。而有限元方法是求解结构响应的有效途径。在建立有限元模型时，一般通过试验测量得到的频响函数进行参数修正，以提高模型精度。然而，在试验测量中往往存在不确定因素，如测量误差、环境干扰等，从而导致试验数据的噪声较大，进而影响模型修正的准确度。
为了解决这一问题，本文提出了一种基于Kriging模型的频响函数有限元模型修正方法。Kriging模型是一种基于高斯过程的插值方法，具有较好的空间统计性质。通过将Kriging模型应用于频响函数的修正，可以有效降低试验数据的噪声，提高模型修正的准确度。
2.有限元模型建立
在有限元模型建立时，需要确定结构的几何形状、材料性质和边界条件等，以建立初始模型。在这里，以一个简单的悬臂梁为例进行说明。
图1悬臂梁结构示意图
确定结构几何形状
首先，确定结构的几何形状，可以通过CAD软件进行建模。悬臂梁的几何形状如图1所示，其长度为L，截面宽度为b，截面高度为h。悬臂端固定，自由端受单位弯矩M的作用。
确定材料性质
结构的材料性质包括弹性模量E和泊松比ν等参数。这里假定悬臂梁为均匀截面的钢材，其弹性模量为2.1×1011N/m2，泊松比为0.3。
确定边界条件
悬臂端固定，自由端受单位弯矩M的作用。因此，可以设置自由端的位移边界条件为u=0，弯矩边界条件为M=1。
有限元模型建立
使用ANSYS软件建立悬臂梁的有限元模型，将结构分成多个小单元进行离散化。在这里使用4节点平面应力单元建立模型，节点数为22，单元数为20。得到的有限元模型如图2所示。
图2悬臂梁有限元模型
3.频响函数测量
在进行模型修正时，需要通过试验测量得到结构的频响函数。频响函数是指结构在不同频率下的响应幅值与外力频率比的函数。在测量时，一般采用激励—响应法，即在结构上施加一定的激励，测量结构在不同频率下的响应。
为了避免环境噪声对试验数据的干扰，需要对试验进行预处理。常见的预处理方法包括加窗法、滤波法、平均法等。这里采用加窗法对试验数据进行预处理，得到的频响函数如图3所示。
图3悬臂梁频响函数图
4.Kriging模型修正
Kriging模型是一种基于高斯过程的插值方法。在Kriging模型中，假设试验数据e(x)为一个随机过程，其期望为E[e(x)]=μ(x)，方差为Var[e(x)]=σ2(x)，其中μ(x)表示试验数据的平均值，σ2(x)表示试验数据的方差。Kriging模型的目标是利用试验数据得到一个插值函数f(x)，使得它在未知点x处的预测误差尽可能小。
建立Kriging模型
Kriging模型的建立包括选取基函数、拟合试验数据和确定Kriging模型的参数。
选取基函数
在Kriging模型中，常用径向基函数（Radialbasisfunction，RBF）作为基函数，其形式为：f(x)=∑i=1nλiϕ(||xi−x||)，其中xi表示已知样本点，λi表示待定系数，ϕ(·)表示径向基函数，x表示未知点。常用的径向基函数包括高斯函数、多项式函数、三次样条函数等。
拟合试验数据
在Kriging模型中，需要确定λi的值。通过最小化预测误差来确定λi的值。预测误差的平方可以表示为：Δ2(x)=Var[e(x)−f(x)]=σ2(x)−∑i=1nλiϕ(||xi−x||)+∑i=1n∑j=1nλiλjϕ(||xi−xj||)。将Δ2最小化可得到待定系数λ。
确定Kriging模型的参数
Kriging模型的参数包括径向基函数的类型和参数，以及Kriging模型的阈值参数等。对于径向基函数的类型和参数，常用的有高斯函数和多项式函数。而对于阈值参数的确定，则需要通过交叉验证等方法进行确定。交叉验证的过程中，将样本点分成若干组，每次选取一组作为验证集，其余组作为训练集，计算模型的预测误差，并根据预测误差确定阈值参数。
模型修正
得到Kriging模型后，可以通过将Kriging模型和有限元模型相结合，进行模型修正。修正的基本思路是，首先将频响函数转换为与有限元模型对应的频响函数，然后将转换后的频响函数通过Kriging模型进行修正。
由于有限元模型和试验