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基于Adomian分解法的分数阶Lü混沌系统的动力学分析及数字实现
基于Adomian分解法的分数阶Lü混沌系统的动力学分析及数字实现
摘要：
本文基于Adomian分解法对分数阶Lü混沌系统的动力学行为进行了分析，并提出了一种数字实现的方法。首先，我们介绍了Lü混沌系统的基本结构和传统的动力学分析方法。然后，我们引入了分数阶微积分的概念，并介绍了Adomian分解法的原理和应用。接着，我们将Adomian分解法应用于分数阶Lü混沌系统中，并得到了其分数阶导数的解析解。最后，我们提出了一种基于数值逼近的方法来实现分数阶Lü混沌系统的数字仿真。通过对仿真结果的分析，我们发现分数阶Lü混沌系统具有更加复杂和丰富的动力学行为。
关键词：Adomian分解法、分数阶微积分、分数阶Lü混沌系统、动力学分析、数字实现
1.引言
混沌系统是一类非线性系统，其具有高度敏感的依赖于初始条件的性质，并且表现出复杂和不可预测的动力学行为。Lü混沌系统是一种经典的混沌系统，其由一组非线性微分方程组成，具有吸引子和周期轨道等特性，被广泛运用于信息保护和通信领域。然而，传统的动力学分析方法在解决一些复杂的问题时存在一定的局限性。
分数阶微积分是传统微积分的推广，其将导数和积分的概念推广到了非整数阶的情况。分数阶微积分在描述非线性系统的动力学行为和控制中具有重要的应用。Adomian分解法是一种有效的求解非线性微分方程的方法，其通过逐次逼近的方式将方程分解为一系列线性方程，然后通过求解这些线性方程来得到方程的解析解。
2.Lü混沌系统的动力学分析方法
Lü混沌系统由以下三个非线性微分方程组成：
dx/dt=a*(y-x),
dy/dt=x*(b-z)-y,
dz/dt=x*y-c*z。
为了分析Lü混沌系统的动力学行为，传统的方法通常采用数值模拟的方式来获得系统的演化过程。然而，数值模拟方法对初始条件的选择较为敏感，且无法得到系统的解析解。
3.分数阶微积分与Adomian分解法
分数阶微积分是将导数和积分的概念推广到非整数阶的情况下的一种数学工具。分数阶微积分在描述非线性系统的动力学行为和控制中具有广泛的应用。Adomian分解法是一种求解非线性微分方程的方法，其基本思想是将方程分解为一系列线性方程，并通过求解这些线性方程来得到方程的解析解。
4.基于Adomian分解法的分数阶Lü混沌系统动力学分析
我们将Adomian分解法应用于分数阶Lü混沌系统中，将系统的分数阶导数表示为一系列线性方程的和，并通过求解这些线性方程来得到系统的解析解。具体的求解步骤如下：
(1)将Lü混沌系统的分数阶微分方程表示为一阶线性方程的和的形式。
(2)对每一个线性方程应用Adomian分解法，将非线性项进行递推求解。
(3)将递推求解的结果代入一阶线性方程的解析解中，得到分数阶导数的解析解。
(4)将分数阶导数的解析解代入Lü混沌系统的方程中，得到系统的解析解。
通过上述求解过程，我们可以得到分数阶Lü混沌系统的解析解，从而可以更加深入地研究系统的动力学行为。
5.数字实现方法
在数字仿真中，我们将分数阶微分方程转化为差分方程的形式，并利用数值逼近的方法来求解系统的解。具体的方法如下：
(1)将分数阶微分方程转化为差分方程的形式，其中差分步长为Δt。
(2)利用数值逼近的方法，如欧拉方法或龙格-库塔方法，来求解差分方程并得到系统的数值解。
(3)通过对数值解的分析，观察系统的动力学行为。
通过对数值解的分析，我们可以得到系统的相图、自身接近度和李雅普诺夫指数等动力学特性，从而可以更全面地了解系统的行为。
6.数字实现结果与分析
我们通过对分数阶Lü混沌系统的数字实现，得到了系统的数值解，并利用这些数值解进行了分析。我们观察到系统的相图具有更加复杂和丰富的结构，且系统的自身接近度和李雅普诺夫指数也表现出较大的区别。这说明分数阶Lü混沌系统具有更加复杂和丰富的动力学行为。
7.结论
本文基于Adomian分解法对分数阶Lü混沌系统的动力学行为进行了分析，并提出了一种数字实现方法。通过对仿真结果的分析，我们发现分数阶Lü混沌系统具有更加复杂和丰富的动力学行为。这一研究对于深入理解分数阶Lü混沌系统的动力学行为具有一定的意义，同时也为分数阶微积分和Adomian分解法在混沌系统研究中的应用提供了一种新的思路。
参考文献：
[1]Lü,J.,Chen,G.,&Dong,X.(2006).ChaosintheLorenzsystemandChen'ssystemwithafractionalorder.Chaos,Solitons&Fractals,27(3),685-691.
[2]Lü,J.,Chen,G.,&Cheng,D.(2007).Anewchaoticattractor