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纯弯曲下薄壁圆柱壳的非线性屈曲分析及非线性自由振动
引言
纯弯曲下薄壁圆柱壳是一种常见的结构，在工程实践中得到广泛应用。该结构在承受外载荷时会出现屈曲现象。随着外载荷的增大，屈曲现象变得越来越明显，最终导致结构失稳。因此，对纯弯曲下薄壁圆柱壳的屈曲分析具有重要的意义。同时，在结构受到外界扰动后，也会出现自由振动。非线性自由振动分析在一些特殊情况下也具有重要的应用价值。因此，本文主要介绍了纯弯曲下薄壁圆柱壳的非线性屈曲分析及非线性自由振动的相关理论。
一、纯弯曲下薄壁圆柱壳的非线性屈曲分析
纯弯曲下薄壁圆柱壳的屈曲分析涉及到广泛的数学物理理论和结构力学原理。本文主要采用有限元法进行分析。有限元法通过将结构分割成有限个小单元，建立单元间的关系，从而对结构的力学性能进行计算。本文采用ABAQUS软件进行有限元分析。
1.分析模型
本文采用的模型为一端固定、另一端自由的薄壁圆柱壳。模型如图1所示。
（图1）模型示意图
2.参考坐标系的建立
如图2所示，建立参考坐标系x-y-z。
（图2）参考坐标系示意图
其中，x轴表示圆柱的长轴方向，y轴表示圆柱的短轴方向，z轴表示圆柱的高度方向。根据参考坐标系的建立，可以得到圆柱壳上任意一点的坐标为：
x=Rcosθ
y=Rsinθ
z=z
3.材料和几何参数的确定
本文采用的圆柱壳材料为弹性理论中的线弹性材料，其力学性质主要由杨氏模量和泊松比两个量决定。由于材料在不同方向的力学性质可能有较大差异，因此本文采用各向同性的假设，使圆柱壳在各个方向上的力学性质相同。圆柱壳的几何参数主要包括圆柱壳的半径、长度和厚度等。这些参数对圆柱壳的弯曲刚度和承载能力有很大影响。在实际计算中，这些参数需要根据具体情况进行确定。
4.求解过程
在有限元分析中，圆柱壳的应力状态可以通过应变能原理和Hamilton原理来求解。应变能原理是基于下列假设得出的：“由于应力系数可正不可负，无论如何取值，应变能是由正数和负数的叠加组成的。因此，应变能必须以非负值的形式表达出来，才能够使理论公式足够通用和适用。”在应变能原理的基础上，经过一系列的计算，可以求得圆柱壳的位移和应变等结果。
二、纯弯曲下薄壁圆柱壳的非线性自由振动分析
非线性自由振动分析主要是研究结构在受到外界扰动后的振动行为。针对薄壁圆柱壳，非线性自由振动的表现形式主要包括低振幅振动、过渡振动和大振幅振动等。
1.分析模型
本文仍采用一端固定、另一端自由的薄壁圆柱壳作为分析模型。模型如图1所示。
2.求解过程
非线性自由振动分析的求解过程主要是围绕二阶常微分方程展开的。所谓二阶常微分方程，是指一个未知函数y关于自变量x的二次导数会出现的方程。在薄壁圆柱壳的振动分析中，通过将结构的振动划分成一系列小的时间间隔，利用欧拉法和尤拉法等方法对方程进行求解，可以得到圆柱壳在不同振幅下的振动情况。同时，为了考虑圆柱壳的非线性因素，本文还引入了诸如摩擦力和非线性阻尼等因素进行计算。
结论
本文主要介绍了纯弯曲下薄壁圆柱壳的非线性屈曲分析及非线性自由振动的相关理论。在实际工程中，这些原理和方法对于设计具有强韧性、稳定性和安全性的结构具有极大的指导意义。随着现代计算机技术的不断进步，非线性屈曲分析和非线性自由振动分析的方法将得到更加广泛和深入地应用。