参数方程和极坐标方程知识点归纳推荐文档.docx

专题九：坐标系与参数方程
1、平面直角坐标系中的伸缩变换
设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2、极坐标系的概念
M
在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。



O
图1

点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.
注：
极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.
若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。
如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。
极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
3、极坐标与直角坐标的互化




cos

x


sin

y
2
2
2



y
x
)
0
(
tan


x
x
y















y
y
x
O
M
H
N
（直极互化图）
设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以得出：

4、简单曲线的极坐标方程
⑴圆的极坐标方程
①以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；（如图1）
②以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；（如图2）
③以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；（如图4）

⑵直线的极坐标方程
①过极点的直线的极坐标方程是和.（如图1）
②过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.化为直角坐标方程为.（如图2）
③过点且平行于极轴的直线l的极坐标方程是.化为直角坐标方程为.（如图4）

5、柱坐标系与球坐标系
⑴柱坐标：空间点的直角坐标与柱坐标的变换关系为：.

⑵球坐标系
空间点直角坐标与球坐标的变换关系：.
6、参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
7、常见曲线的参数方程
（1）圆的参数方程为（为参数）；
（2）椭圆的参数方程为（为参数）；
椭圆的参数方程为（为参数）；

（3）双曲线的参数方程（为参数）；
双曲线的参数方程（为参数）；

（4）抛物线参数方程为参数，）；
参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
（6）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.
8、参数方程与普通方程之间的互化
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.
参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过。根据t的取值范围导出的取值范围.