(完整)参数方程和极坐标方程知识点归纳.pdf

专题九：坐标系与参数方程1、平面直角坐标系中的伸缩变换xx,(0),设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:的作用yy,(0).下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2、极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。M(,)点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).注：极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R).若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称，即(,)与(,)表示同一点。如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋2k)或（，＋(2k1)），(kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜2或<0，＜≤等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，极坐标是(,)，从图中可以得出：xcos,ysiny2x2y2,tan(x0).x4、简单曲线的极坐标方程⑴圆的极坐标方程①以极点为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是a；（如图1）②以(a,0)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2acos；（如图2）③以(a,)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2asin；（如图4）2⑵直线的极坐标方程①过极点的直线的极坐标方程是(0)和(0).（如图1）②过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是cosa.化为直角坐标方程为xa.（如图2）③过点A(a,)且平行于极轴的直线l的极坐标方程是sina.化为直角坐标方程为2ya.（如图4）5、柱坐标系与球坐标系xcos⑴柱坐标：空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(,,z)的变换关系为：ysin.zz⑵球坐标系x2y2z2r2xrsincos空间点P直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,,)的变换关系：.yrsinsinzrcos6、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数xf(t),并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，yg(t),那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。7、常见曲线的参数方程222xarcos（1）圆(xa)(yb)r的参数方程为（为参数）；ybrsinx2y2xacos（）椭圆的参数方程为（为参数）；2221(ab0)abybsiny2x2xbcos椭圆的参数方程为（为参数）；221(ab0)abyasinx2y2xasec（）双曲线的参数方程（为参数）；3221(ab0)abybtany2x2xbcot双曲线的参数方程（为参数）；221(ab0)abyacsc22x2pt1（4）抛物线y2px参数方程(t为参数，t）；y2pttan参数t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.xx0tcos（6）过定点P(x0,y0)、倾斜角为()的直线的参数方程（t为参2yy0tsin数）.8、参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致