矩阵特征值与特征向量的计算ppt课件.ppt

第3章矩阵特征值与特征向量的计算在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个特征系统。
如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频率与振型；
物理学中的某些临界值的确定等等。引言定义1设矩阵A,BRnn，若有可逆阵P，使

则称A与B相似。定理2：设ARnn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关定理3：ARnn，1,…,n为A的特征值，则定理4设ARnn为对称矩阵，其特征值1≥2≥…≥n，则定理5（圆盘定理）设ARnn，则定理4及定理5给出了矩阵特征值的估计方法及界。§3.1乘幂法与反幂法定理6设ARnn有完全特征向量系，若1,2,…,n为A的n个特征值且满足（2）当时求出、后，由公式规范化乘幂法定理7设ARnn具有完全特征向量系，1,2,…,n为A例2用规范化乘幂法计算矩阵A的主特征值及相应特征向量263.1.2反幂法规范化反幂法公式为293.1.3乘幂法的加速：原点位移法关于矩阵B的乘幂公式为当i(i=1,2,…,n)为实数，且1>2≥…≥n时，取34353.2子空间迭代法即与1,2正交，将其单位化为对n维向量空间，设1,…,n为Rn上n个线性无关的向量，将n个线性无关向量变换为n个两两正交向量的方法称为42433.3雅克比(Jacobi)旋转法3）称矩阵2．雅克比方法设矩阵ARnn是对称矩阵，记A0=A，
对A作一系列旋转相似变换Pk是一个正交阵，我们称它是（i,j）平面上的旋转矩阵50我们选取Pk，使得，因此需使满足直接从三角函数关系式计算sin和cos，记于是54特征向量的计算：算法：（2）（4）（5）计算特征向量60练习：3.4Householder方法3.4.1实对称矩阵的三对角化反射变换Householder变换Householder变换将A化为三对角矩阵的具体作法693.4.2求对称三角矩阵特征值的对分法同号数定理防止高次多项式求值溢出！作业：第3章矩阵特征值与特征向量7778