偏微分方程的数值方法.ppt

偏微分方程的数值方法偏微分方程定解问题，是表述自然与工程技术领域中各种现象最重要的数学工具之一，应用十分广泛。
遗憾的是，绝大多数偏微分方程的解不能以实用的解析形式来表示，因而其数值解就显得尤为重要。
虽然常微分方程数值方法的历史可以追溯到18世纪，一些偏微分方程的数值方法也在20世纪初得到研究，但是，它们发展成为一门理论上严谨，实用上有效的学科，还是20世纪50年代以来的事，这主要得益于电子计算机的诞生。偏微分方程的分类三种类型的边界条件：
（1）狄里赫利型边界条件（第一类边界条件）：边界上的函数值已知；
（2）纽曼型边界条件（第二类边界条件）：边界上函数的法向导数值已知或是一种连续函数。
（3）混合边界条件：边界条件为第一类边界条件和第二类边界条件的线性组合。数值求解偏微分方程定解问题的主要方法差分方法目前，对于线性偏微分方程定解问题，差分方法已经形成了较成熟的算法格式，对于非线性问题，有效的算法正在迅速发展之中。差分方法的准备工作差分方法的基础，即泰勒级数展开：一阶导数的差分表达式：

二阶导数的差分表达式：随着精度的不断提高，可以推导出无穷无尽的差分表达式。对于高阶精度公式，其优点、缺点：
（1）缺点：高阶精度的差分需要更多的网格点，所以计算中的每一步都需要更多的计算时间。
（2）优点：要得到相同精度的解，如果使用高阶差分格式，网格点的总数可以更少一些；高阶差分格式可以给出质量更高的解。例如，方程

有两个自变量x和t，设t是用于推进求解的变量。i是x方向的标号，n是t方向的标号。设第n层上的数值已知，求第n+1层上的数值。显式方法隐式方法整理隐式格式，将未知量放在等式左边，已知量放到右边，得

隐式格式可化成三对角形式的方程组。显式方法：每一个差分方程只包含一个第n+1层的未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方式显式地求解。显式方法是最简单的方法。隐式方法：包含第n+1层上的多个未知量，必须形成一个代数方程组。由于需要求解联立的代数方程组，隐式方法通常涉及大型矩阵的运算。比显式方法需要更多、更复杂的计算。
显示方法和隐式方法的优缺点2）隐式方法
优点：用大得多的△t值也能保持稳定性。要将时间推进计算到时间变量的给定值，需要少得多的时间步，这将使计算机运行时间更短。
缺点：方法的建立和编程更复杂。而且，由于每一时间步的计算通常需要大量的矩阵运算，每一时间步的计算机运行时间要比显式方法长得多。求解偏微分方程的一些差分方法有限元方法MATLAB的偏微分方程工具箱（PDEToolbox）提供了空间二维问题高速、准确的求解过程。用户只要使用界面或M文件，画出所需要的区域，输入方程类型和有关系数，就可显示解的图形和输出解得数值。
谢谢！