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两类风险模型下的均值—方差投资组合博弈问题
引言
投资者在购买金融资产时，往往需要考虑风险和收益之间的平衡。过多的风险可能导致巨大的损失，而另一方面，追求高回报率可能需要承担更大的风险。在这种情况下，投资者需要选择一种投资组合，以使他们的投资风险和回报之间达到一个合理的平衡。本文将探讨两种风险模型下的均值-方差投资组合博弈问题，并分别介绍如何使用线性规划和博弈论对这种问题进行求解。
1.均值-方差模型
在投资组合理论中，均值-方差模型是最常用的模型之一。该模型通常假定资产收益率服从正态分布，考虑投资组合的收益和方差之间的权衡。考虑一个投资组合，其由n个不同的资产组成，每个资产的收益都已知。假设第i个资产的收益率为ri，方差为σi2。投资组合的收益率为投资于每种资产的比例的加权平均值，如下所示：
r=∑i=1nwiri
其中，wi表示投资于第i个资产的权重。投资组合的方差可以表示为：
σ2=∑i=1n∑j=1nwiwjCov(ri,rj)
这里的Cov(ri,rj)是资产i和j之间的协方差。在这个模型中，投资者希望最大化收益，同时最小化方差。
2.两类风险模型
除了均值-方差模型，投资组合理论还包括两种不同的风险模型：下方风险和上方风险。两个模型都希望在投资组合中最小化巨大损失的风险，但是它们的定义和度量方式略有不同。
下方风险模型通常考虑投资组合在不良市场条件下的最差表现。这种模型通常假定投资组合的收益率分布是对称的，且集中在均值附近。
与之相反，上方风险模型则是在不利条件下最大化投资组合的收益率。上方风险模型通常假定投资组合的收益率分布是非对称的，且右偏，也就是收益率的平均值高于中位数。
3.线性规划
线性规划是一种常用的数学优化技术，可以用来求解各种问题的最优解，包括均值-方差投资组合博弈问题。在均值-方差模型中，我们可以使用线性规划来确定最优的投资组合。假设我们有n个资产，第i个资产的预期回报率为ri，方差为σi2。并且我们想要在不同的收益率要求（ri）下得到最小的方差。我们可以使用以下线性规划模型来解决这个问题：
最小化：σ2=∑i=1n∑j=1nwiwjCov(ri,rj)
约束条件：
∑i=1nwi=1
∑i=1nwiri=r
wi≥0
这个模型的目标是最小化投资组合的方差，同时满足指定的收益率要求。第一个约束条件强制投资组合中的权重总和为1，也就是说，所有的资产都在投资组合中得到了适当的权重。第二个约束条件要求投资组合的预期收益率等于指定的收益率。最后一个约束条件将权重限制为非负数。
4.博弈论
博弈论是一种数学分析方法，用于研究各种竞争、合作和冲突情况下的决策问题。在投资组合理论中，博弈论可以用来帮助投资者确定最佳的投资策略。在两类风险模型下，博弈论可以使用纳什均衡来解决均值-方差投资组合博弈问题。在博弈中，每个投资者都会选择一个策略，以最大化他们自己的回报率。但是，每个策略的结果取决于其他投资者的决策。纳什均衡是一种博弈解决方案，其中每个玩家都采用最佳策略，考虑到其他玩家的策略选择。
在下方风险模型中，我们可以使用博弈论来定量分析投资者在不好的市场情况下的最佳投资策略。假设我们有两个投资者，我们可以使用博弈理论来确定他们的最佳策略。设ai和bi分别表示投资者1和2投资于资产i的比例。其中，投资者1的效用函数可以表示为：
u1=min(∑i=1nairi，μ1)
其中，μ1是指定的预期回报率。对应投资者2的效用函数则可以表示为：
u2=min(∑i=1nbiri，μ2)
在这个模型中，每个投资者都希望最小化他们的损失，同时也要考虑到他们的对手所做的决定。最后，我们可以通过使用纳什均衡来确定每个投资者的最佳策略。
在上方风险模型中，博弈论可以帮助投资者确定最佳的投资策略，以实现最大的收益率。在这种情况下，我们需要考虑投资者在市场上争夺有限资源的情况下所做出的决策。通过使用博弈论的一些基本原则以及基于纳什均衡的模型，我们可以确定每个投资者的最佳决策。
结论
在这篇论文中，我们考虑了两种不同的风险模型（上方风险和下方风险）下的均值-方差投资组合博弈问题。我们介绍了使用线性规划和博弈论来解决这些问题的不同方法。我们发现，这些技术可以帮助投资者确定最佳的投资策略，并帮助他们在市场上获得最大的收益率。虽然这些技术的应用需要一定的经验和技能，但是，在实践中，它们已经被证明是非常有用的工具，用于优化投资组合的构建和管理。