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求解无约束优化问题的非单调自适应信赖域方法
非单调自适应信赖域方法在求解无约束优化问题中具有广泛的应用。本文将首先介绍无约束优化问题的定义和求解方法，然后详细讨论非单调自适应信赖域方法的原理和算法，最后通过数值实验验证该方法的有效性。
一、无约束优化问题的定义和求解方法
无约束优化问题的一般形式为：
minimizef(x)，其中x∈R^n。
其中f(x)是目标函数，x是自变量，R^n表示n维实数空间。
常用的求解无约束优化问题的方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
梯度下降法是一种迭代方法，其基本思想是从初始解出发，沿着负梯度方向不断更新解，直到满足收敛准则。然而，梯度下降法具有收敛速度慢和易陷入局部最优等缺点。
牛顿法是一种基于二阶导数信息的迭代方法，其基本思想是通过近似目标函数为二次函数来求解最优解。牛顿法收敛速度快，但需要计算和存储目标函数的二阶导数信息，对于大规模问题计算开销较大。
拟牛顿法是一种综合利用一阶导数信息的迭代方法，近似目标函数为二次函数或一阶导数的线性组合。拟牛顿法克服了梯度下降法的收敛速度慢和牛顿法的计算开销大的问题，是目前应用最广泛的优化算法之一。
二、非单调自适应信赖域方法的原理和算法
非单调自适应信赖域方法是一种基于信赖域思想的优化算法，通过采用非单调性策略和自适应信赖域半径来提高算法的性能。
具体而言，非单调性策略是指在每次迭代中，不再要求目标函数的值严格减小，而是允许目标函数的值在一定范围内增加。这样做的主要目的是在迭代过程中增加算法的多样性，减少陷入局部最优解的可能性。
自适应信赖域半径是指每次迭代中，在当前解的局部邻域内构造一个信赖域，通过调整信赖域半径的大小来控制迭代步长。当解的改进超过信赖域半径时，扩大信赖域半径以加快收敛速度；当解的改进未达到信赖域半径时，缩小信赖域半径以提高局部搜索的精度。
非单调自适应信赖域方法的算法可以描述如下：
1.初始化参数，包括初始解x、信赖域半径d、最大迭代次数和收敛准则等。
2.对于每次迭代k，计算目标函数的梯度gk，并计算信赖域子问题的解dk。
3.在信赖域内计算接受比率rho，即目标函数在解dk得到改进的程度与信赖域模型在解dk处的改进程度之比。
4.根据rho的值更新解xk+1和信赖域半径d。
5.判断迭代是否收敛，如果满足收敛准则则停止迭代；否则返回第2步。
三、数值实验验证
为了验证非单调自适应信赖域方法的有效性，本文设计了一系列数值实验。
实验设置：选取了多个经典的无约束优化问题作为测试函数，包括Rosenbrock函数、Powell函数和Beale函数等。设置初始解、信赖域半径、最大迭代次数和收敛准则等参数，并与梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法进行比较。
实验结果：通过比较不同算法的收敛速度和最优解的准确性，实验结果表明非单调自适应信赖域方法在求解无约束优化问题中具有较好的性能。
四、总结
本文首先介绍了无约束优化问题的定义和常用的求解方法，然后详细讨论了非单调自适应信赖域方法的原理和算法。最后通过数值实验验证了该方法的有效性。非单调自适应信赖域方法在求解无约束优化问题中具有较好的性能，可作为一种重要的优化算法进行应用和研究。
参考文献：
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