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高数课件第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念返回第一节多元函数的基本概念

一、区域
1.邻域
设是xOy平面上的一个点，δ是某一正数.与点距离小于δ的点的全体称为的邻域，记为，即

也就是

2.区域
设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点.如果存在点P的某一邻域使，
则称P为E的内点(图8-1).
如果点集E的点都是内点，则
称E为开集.
如果点P的任一邻域内既有属
P于E的点，也有不属于E的点，
E则称P为E的边界点（图8-2）.
设D是开集.如果对于D内的
图8-1任何两点，都可用折线连结起来,而且该折线上的点都属于D,
P则称开集D是连通的.
连通的开集称为区域或开区域.
E开区域连同它的边界一起,称
为闭区域.
图8-2

3.n维空间
设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
的全体为n维空间,而每个有序n元数组称为n维空间中的一个点,数称为该点的第i个坐标,n维空间记为.
n维空间中两点及间的距离规定为

二、多元函数概念

定义1设D是平面上的一个点集.如果对于每个点P=(x,y)∈D,变量z按照一定法则总有确定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数(或点P的函数),记为

点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z也称为因变量,数集

称为该函数的值域.

把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D.则可类似的定义n元函数.当n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函数统称为多元函数.三、多元函数的极限
二元函数当,,即
时的极限.
这里表示点以任何方式趋于，也就
是点与点间的距离趋于零，即

定义2设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）内有定义，是D的内点或边界点如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式

的一切点P(x,y)∈D，都有

成立，则称常A为函数f(x,y)当，时的极限，记作

或
这里.四、多元函数的连续性
定义3设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义，是D的内点或边界点且.
如果

则称函数f(x,y)在点连续.
若函数f(x,y)在点不连续，则称为函数f(x,y)的间短点.
函数当x→0,y→0时的极限不存在，所以点(0,0)是该函数的一个间断点.
函数

在圆周上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点，是一条曲线.
性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值.
在D上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，即对于一切P∈D，有
性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
如果μ是函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=μ.
*性质3(一致连续性定理)在有界闭区域上的多元连续函数必定在D上一致连续.
若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于D上的
任意二点，只要当时，都有

成立.
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
由多元初等函数的连续性，如果要求它在点
处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点函数值，即一.偏导数的定义及其计算方法一、偏导数的定义及其计算方法
定义设函数在点的某一邻域内有定义，当y固定在而x固定在处有增量Δx时，相应地函数有增量

如果

（1）

存在，则称此极限为函数在点
处对x的偏导数，记作

例如，极限(1)可以表示为

(2)

类似地,函数在点对y的偏导数定义为

(3)

记作

如果函数在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
x、y函数,它就称为函数对自变量x的偏导函数，记作

类似的，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，记作

求时只要把y暂时看作常量对x求导数；求
时只要把暂x时看作常量对y求导数.

图8-6二、高阶偏导数
设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数

那么在D内都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同下列四个二阶偏导数：二元函数z=f(x,y)在点的偏导数有下述几何意义.
设为曲面z=f(x,y)上的一点,过作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为,则导数

，即偏导数,就是

这曲线在点处的切线对x轴的斜率(见图8-6).同样偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线
对y轴的斜率.

其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏

导