高二数学直线与平面垂直知识精讲 人教版课程（精品）.doc

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高二数学直线与平面垂直知识精讲
一.本周教学内容：
直线与平面垂直

二.重点、难点：
1.垂直判定
（1）

（2）

（3）

2.垂直性质
（1）
（2）过空间一点作定直线的垂面有且仅有一个
（3）过空间一点作定平面的垂线有且仅有一条
3.三垂线定理及其逆定理
为的一斜线，为在内射影
则：

1.以AB为直径的圆在平面内PA⊥于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。

2.四面体的四个面可否均为直角三角形
下面所示为所求。
3.四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，试判断的形状。

解：设、、

为锐角，同理为锐角
P在底面射影为垂心。
4.四面体P—ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB。

证：过P作PQ⊥面ABC于Q

为垂心

同理A、B、C在对面射影也均为垂心
5.如图，直角BAC在外，AB//，，求证：在内射影为直角。

证：如图所示，、为射影
确定平面

面为直角
6.求证两条异面直线的公垂线有且只有一个。

证：存在性
过作平面，使、
E为上一点，过E作EF⊥于F
BEEF=E确定平面
设
过A作AB//EF交于B∴AB为公垂线
唯一性，假定存在CD为异面直线、公垂线

∴A、B、C、D共面、共面与已知矛盾。
∴假设不成立∴公垂线有且仅有一条
7.求证：四个角是直角的四边形为矩形
证：四边形ABCD四个角均为
（1）若ABCD四点共面，显然ABCD为矩形
（2）假设AB、CD为异面直线。
∴AD、BC为AB、CD的公垂线，与两条异面直线的公垂线有且仅有一条矛盾。
∴假设不成立∴ABCD四点共面∴ABCD为矩形

（答题时间：45分钟）
一.选择题：
1.下面结论有（）个正确的。
（1）过空间一点作与已知直线平行的平面有且仅有一个
（2）过空间一点作与已知直线垂直的平面有且仅有一个
（3）过空间一点作与已知平面平行的直线有且仅有一条
（4）过空间一点作与已知平面垂直的直线有且仅有一条
A.1B.2C.3D.4
2.已知直线、、，平面、，下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
3.三条直线两两垂直，则下列结论正确的是（）
（1）三线必交于一点
（2）其中必有两条异面
（3）三条线不可能在同一个平面内
（4）其中必有两条直线在一个平面内
A.1B.2C.3D.4

二.解答题：
1.已知平面平面，且，，求证：EF⊥平面ABC。

2.如图所示，S是矩形ABCD所在平面外一点，且SA⊥平面ABCD，SA=AD，E、F分别是AB、SC的中点，求证：EF⊥平面SCD。

3.在所在的平面外有一点P，PA=PB，PB⊥平面PAB，M为PC的中点，N为AB上的一点，且AN=3BN。求证：AB⊥MN。
4.已知空间四边形ABCD中，AD=BD，AC=BC，M、N、P、Q分别是AC、BC、BD、AD的中点，求证：四边形MNPQ是一个矩形。

[参考答案]
HYPERLINK"http://www.dearedu.com"http://www.dearedu.com
一.
1.B2.B3.A

二.
1.证明：∵AB，EF∴∵
∴又AB、AC相交于A∴EF⊥平面ABC
2.证明：取SD的中点G，连结AG、GF，则
又∵∴又∵
∴GFAE，即AEFG是平行四边形∴AG//EF又∵SA=AD
∴AG⊥SD又∵SA⊥平面ABCD∴SA⊥CD
又∵CD⊥AD∴CD⊥平面SAD∴AG⊥CD∴AG⊥平面SCD
∴EF⊥平面SCD

3.证明：如图，取PB的中点D，AB的中点E，连结PE、DN、DM
∵M为PC的中点∴DM//BC又∵BC⊥平面PAB，AB平面PAB
∴AB⊥BC∴AB⊥DM∵PA=PB，E为AB的中点
∴PE⊥AB而AN=3BN，D为PB的中点
∴DN//PE∴DN⊥AB又∵DNDM=D∴AB⊥平面DMN
又∵MN平面DMN∴AB⊥MN

4.证明：设AB的中点为E，连结DE、CE
∵P、Q分别是BD、AD的中点∴PQ//AB且PQ=AB
同理，MN//AB，MN=AB∴MNPQ
∴四边形MNPQ是一个平行四边形∵AD=BD∴AB⊥ED
同理，AB⊥EC∴AB⊥平面EDC∴AB⊥DC
∵Q、M分别是AD、AC的中点∴QM//DC
又MN//AB∴MN⊥MQ∴四边形MNPQ是一个矩形。