新课标2018届高考数学二轮复习专题五立体几何专题能力训练15立体几何中的向量方法理.doc

-14-专题能力训练15立体几何中的向量方法能力突破训练1.如图正方形ABCD的中心为O四边形OBEF为矩形平面OBEF⊥平面ABCD点G为AB的中点AB=BE=2.(1)求证:EG∥平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点且AH=HF求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.2.如图在四棱锥A-EFCB中△AEF为等边三角形平面AEF⊥平面EFCBEF∥BCBC=4EF=2a∠EBC=∠FCB=60°O为EF的中点.(1)求证:AO⊥BE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE⊥平面AOC求a的值.3.(2017山东理17)如图几何体是圆柱的一部分它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的G是的中点.(1)设P是上的一点且AP⊥BE求∠CBP的大小;(2)当AB=3AD=2时求二面角E-AG-C的大小.4.如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P使得DP∥平面B1AE?若存在求AP的长;若不存在说明理由.5.(2017北京理16)如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为正方形平面PAD⊥平面ABCD点M在线段PB上PD∥平面MACPA=PD=AB=4.(1)求证:M为PB的中点;(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.6.如图AB是半圆O的直径C是半圆O上除AB外的一个动点DC垂直于半圆O所在的平面DC∥EBDC=EBAB=4tan∠EAB=.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当三棱锥C-ADE体积最大时求二面角D-AE-B的余弦值.思维提升训练7.如图甲所示BO是梯形ABCD的高∠BAD=45°OB=BC=1OD=3OA现将梯形ABCD沿OB折起成如图乙所示的四棱锥P-OBCD使得PC=E是线段PB上一动点.(1)证明:DE和PC不可能垂直;(2)当PE=2BE时求PD与平面CDE所成角的正弦值.8.如图平面PAD⊥平面ABCD四边形ABCD为正方形∠PAD=90°且PA=AD=2;EFG分别是线段PAPDCD的中点.(1)求证:PB∥平面EFG.(2)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.(3)在线段CD上是否存在一点Q使得点A到平面EFQ的距离为?若存在求出CQ的值;若不存在请说明理由.参考答案专题能力训练15立体几何中的向量方法能力突破训练1.解依题意OF⊥平面ABCD如图以O为原点分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意可得O(000)A(-110)B(-1-10)C(1-10)D(110)E(-1-12)F(002)G(-100).(1)证明依题意=(200)=(1-12).设n1=(xyz)为平面ADF的法向量则不妨设z=1可得n1=(021)又=(01-2)可得n1=0又因为直线EG⊄平面ADF所以EG∥平面ADF.(2)易证=(-110)为平面OEF的一个法向量.依题意=(110)=(-112).设n2=(xyz)为平面CEF的法向量则不妨设x=1可得n2=(1-11).因此有cos<n2>==-于是sin<n2>=所以二面角O-EF-C的正弦值为(3)由AH=HF得AH=AF.因为=(1-12)所以进而有H从而因此cos<n2>==-所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为2.(1)证明因为△AEF是等边三角形O为EF的中点所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCBAO⊂平面AEF所以AO⊥平面EFCB所以AO⊥BE.(2)解取BC中点G连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形所以OG⊥EF.由(1)知AO⊥平面EFCB又OG⊂平面EFCB所以OA⊥OG.如图建立空间直角坐标系O-xyz则E(a00)A(00a)B(2(2-a)0)=(-a0a)=(a-2(a-2)0).设平面AEB的法向量为n=(xyz)则令z=1则x=y=-1.于是n=(-11).平面AEF的法向量为p=(010).所以cos<np>==-由题知二面角F-AE-B为钝角所以它的余弦值为-(3)解因为BE⊥平面AOC所以BE⊥OC即=0.因为=(a-2(a-2)0)=(-2(2-a)0)所以=-2(a-2)-3(a-2)2.由=0及0<a<2解得a=3.解(1)因为AP⊥BEAB⊥BEABAP⊂平面ABPAB∩AP=A所以BE⊥平面ABP又BP⊂平面ABP所以BE⊥BP又∠EBC=120°.因此∠CBP=30°.(2)解法一:取的中点H连接EHGHCH.因为∠EBC=120°所以四边形BEHC为菱形所以AE=GE=AC=GC=取AG中点M连接EMCMEC则EM⊥AGCM⊥AG所以∠EMC为所求二面角的平