核心素养系列(三)数学建模、数学抽象.docx

核心素养系列（三）
数学建模、数学抽象——离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量的期望与方差是高考的一个重要内容，注意观察随机变量的概率分布特征，抽象出合理的概率模型，利用期望与方差公式计算与求解，解决学生这一痛点.
类型一以相互独立事件为背景的期望与方差
求以相互独立事件为背景的期望与方差的解题思路：

【典例1】（2020·江苏省连云港市锦屏高级中学高三期中）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是.甲乙丙是否击中目标相互独立.
（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；
（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望.
【素养指导】（1）求出→且与→求乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）写出X的可能取值→求出相应的概率→求出X的分布列→E（X）．
【解析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A、B、C，则，且有
即解得，，
所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为，；
（2）由题意，X的可能取值为0，1，2，
；，
.
所以随机变量X的分布列为
X012P，所以X的数学期望为.
【素养点评】考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力．
【素养专练】为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完个问题后的总得分为”．
（1）求且（）的概率；
（2）记，求的分布列，并计算数学期望．
【解析】（1）当时，即回答个问题后，正确个，错误个.若回答正确个和第个问题，则其余个问题可任意回答正确个问题；若第一个问题回答正确，第个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确个.
故所求概率为：.
（2）由可知的取值为.
，.
故的分布列为：
X103050P.
类型二以二项分布为背景的期望与方差
求二项分布为背景的期望与方差的解题思路：
第一步：根据题意设出随机变量.
第二步：分析随机变量服从二项分布.
第三步：找到参数n，p.
第四步：写出二项分布的概率表达式.
第五步：求解相关概率.
【典例2】（2020·陕西高三（理））每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．

(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．
【素养指导】(Ⅰ)先计算人都认为不很幸福的概率→再有对立事件就概率；
(Ⅱ)确定二项分步→的可能的取值→列出分布列→求出期望．
【解析】(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福

(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为
；；
；
所以随机变量的分布列为：
所以的期望
【素养点评】二项分布的均值与方差.
(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).
【素养专练】(2020·顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.

(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；
(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)
(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值.
【解析】(1)∵前四组频数成等差数列，∴所对应的也成等差数列，
设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，
∴0.5[0.2＋(0.2＋d)×2＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.1×3]＝1，
解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.
居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.