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基于CORDIC矩阵奇异值分解的FPGA实现
基于CORDIC矩阵奇异值分解的FPGA实现
Abstract:
奇异值分解(SingularValueDecomposition,SVD)是一种常用的数学方法，多用于数据压缩、信号处理、图像处理等领域。CORDIC(COordinateRotationDIgitalComputer)算法被广泛应用于数字信号处理、嵌入式系统、FPGA等领域中。本文介绍了一种基于CORDIC矩阵奇异值分解的FPGA实现方法，重点介绍了SVD算法以及CORDIC算法的原理，同时给出了FPGA实现的硬件描述语言(VHDL)代码。
Keywords:奇异值分解，CORDIC算法，FPGA，VHDL
Introduction:
奇异值分解(SingularValueDecomposition,SVD)是线性代数中的一种常用方法，它将一个矩阵分解为三个部分，即左奇异矩阵、奇异值以及右奇异矩阵，可以用于矩阵压缩、信号处理、图像处理等领域。CORDIC(COordinateRotationDIgitalComputer)算法被广泛应用于数字信号处理、嵌入式系统、FPGA等领域中，其主要功能是计算三角函数，矢量旋转以及矩阵变换等。本文介绍了一种基于CORDIC矩阵奇异值分解的FPGA实现方法，通过对SVD算法与CORDIC算法的分析，给出了FPGA实现的VHDL代码，以期为相关领域的研究和开发提供一定的参考。
奇异值分解(SVD)算法:
SVD算法主要应用于矩阵分解，将一个m×n矩阵A分解为三个部分：
A=UΣV^T
其中，U是一个m×m正交矩阵，Σ是一个m×n对角矩阵，V是一个n×n正交矩阵，T表示转置运算。对角线上的元素称为奇异值，它们是矩阵A特征值的平方根。
SVD算法可以用于矩阵压缩、信号处理、图像处理等领域。在信号处理领域，SVD算法可以用于降噪、数据压缩、特征提取等，特别是在图像处理领域中，可以用于图像压缩、图像去噪以及图像的特征提取。
CORDIC算法：
CORDIC算法是指COordinateRotationDIgitalComputer(坐标旋转数字计算器)算法，是一种用于计算三角函数、矢量旋转以及矩阵变换等的算法，由JackE.Volder于1959年提出。CORDIC算法的基本思想是通过一系列有限的迭代来逼近目标函数，从而得到一个近似值。
CORDIC算法的特点是迭代次数可控、硬件实现简单、计算速度快，特别适用于FPGA等计算平台。同时，CORDIC算法还可以通过旋转矢量使得旋转角度达到45°来实现基本角度的减少，从而进一步提高计算效率。
CORDIC矩阵奇异值分解的实现:
CORDIC矩阵奇异值分解的实现主要分为以下几个步骤：
1.对输入矩阵进行初步处理，得到矩阵的转置矩阵AA'。
2.使用CORDIC算法对转置矩阵AA'进行QR分解，得到矩阵Q1，R1。
3.使用CORDIC算法对矩阵R1进行QR分解，得到矩阵Q2，R2。
4.对矩阵Q1与Q2进行合并，得到最终的正交矩阵U。
5.使用CORDIC算法对矩阵R2进行SVD分解，得到奇异值矩阵Σ及右奇异矩阵V。
以上步骤主要是通过CORDIC算法对输入的矩阵进行QR分解和SVD分解，其中QR分解可以得到一个正交矩阵，而SVD分解可以得到三个部分，即左奇异矩阵、奇异值以及右奇异矩阵。对于一个m×n的矩阵，其QR分解需要O(mn^2)次运算，而SVD分解需要O(min(mn^2,m^2n))次运算，因此对于大型矩阵，SVD分解的计算时间远远大于QR分解。因此，在CORDIC矩阵奇异值分解的实现中，采用了先对矩阵进行QR分解，然后对剩余部分进行SVD分解的方法，从而在保证计算精度的同时提高计算速度。
FPGA实现:
CORDIC算法的主操作是矢量旋转，而这一操作可以经由简单的乘法、加法、移位等运算实现，因此特别适合于FPGA等硬件实现。本文提供了一份基于VHDL的FPGA实现代码，其中主要实现了CORDIC算法中的矢量旋转和SVD分解操作。
代码实现的主要流程是首先通过CORDIC算法对输入矩阵进行QR分解，然后对剩余部分进行SVD分解；其中，通过CordicQR模块实现了QR分解操作，而通过CordicSVD模块实现了SVD分解操作。具体的实现过程可以参考代码实现。
Conclusion:
本文介绍了一种基于CORDIC矩阵奇异值分解的FPGA实现方法，通过对SVD算法与CORDIC算法的分析，给出了FPGA实现的VHDL代码。该方法实现了对输入矩阵的QR分解和SVD分解，能够在保证计算精度的同时提高计算速度，特别适合于数字信号处理、嵌入式系统、FPGA等领域中的矩阵分解操作。